1 Maxwell分布

粒子 X と粒子 a かららる温度 $T$ の混合気体を考え、 それぞれの粒子数密度を $N_{\rm X}$ と $N_{\rm a}$と書く。それぞれ温度 $T$ で熱平衡にあるとすれば、 気体粒子の速度分布は

$$N_{\rm a}\left(\vec{v}_{\rm a}\right) d v_{{\rm a}x}v_{{\rm a}y}v_{{\rm a}z} = N_{\rm a} \left(\frac{m_{\rm a}}{2\pi kT}\right)^{3/2}\exp\left... ...{\rm a}\vec{v}_{\rm a}^2}{2k T}\right) d v_{{\rm a}x}v_{{\rm a}y}v_{{\rm a}z}$$ (92)

$$N_{\rm X}\left(\vec{v}_{\rm X}\right) d v_{{\rm X}x}v_{{\rm X}y}v_{{\rm X}z} = N_{\rm X} \left(\frac{m_{\rm X}}{2\pi kT}\right)^{3/2}\exp\left... ...{\rm X}\vec{v}_{\rm X}^2}{2k T}\right) d v_{{\rm X}x}v_{{\rm X}y}v_{{\rm X}z}$$ (93)

なる Maxwell 分布で与えられる。これを使って

$$r_{\rm aX} = \int_{-\infty}^{+\infty}\cdots\int_{-\infty}^{+\inft... ...) N_{\rm X}\left(\vec{v}_{\rm X}\right) d^3\vec{v}_{\rm a}d^3\vec{v}_{\rm X}$$ (94)

と書く。 ここで $v=\vert\vec{v}\vert$ であり、 $\vec{v}=\vec{v}_{\rm a}-\vec{v}_{\rm X}$ である。 また以下では $\sigma_{\rm aX}\left(\vec{v}\right)=\sigma_{\rm aX}(\vert\vec{v}\vert)$ とする。

二粒子の重心の速度 $\vec{V}$ を $\vec{V}=\left(m_{\rm a}\vec{v}_{\rm a} +m_{\rm X}\vec{v}_{\rm X} \right)/\left(m_{\rm a}m_{\rm X}\right)$ と定義する。 $\left(\vec{v}_{\rm a},\vec{v}_{\rm X}\right)\to\left(\vec{V},\vec{v}\right)$ と積分変数変換を行うと、(94)は

$$r_{\rm aX} = \int_{-\infty}^{+\infty}\cdots\int_{-\infty}^{+\infty} v\sigma_... ...ight)}{\partial \left(\vec{V},\vec{v}\right)}\right\vert d^3\vec{v}d^3\vec{V}$$

$$=N_{\rm a}N_{\rm X} \int_{-\infty}^{+\infty}\cdots\int_{-\infty}^... ...a}+m_{\rm X}\right)\vec{V}^2+\mu\vec{v}^2}{2kT}\right\} d^3\vec{v}d^3\vec{V}$$

$$=N_{\rm a}N_{\rm X} \int_{0}^{+\infty}4\pi v^2\cdot v\sigma_{\rm ... ...kT}{m_{\rm a}+m_{\rm X}}} \exp\left(-\frac{\mu\vec{v}^2}{2kT}\right) d{v}$$

$$=N_{\rm a}N_{\rm X} \int_{0}^{+\infty}v\sigma_{\rm aX}\left(\vec{... ...T}\right)^{3/2} \exp\left(-\frac{\mu\vec{v}^2}{2kT}\right) 4\pi v^2 d{v}$$ (95)

と書けることが分かる。 これから、(9)の $\phi(v)$ が

$$\phi(v) = 4\pi v^2 \left(\frac{\mu}{2\pi kT}\right)^{3/2}\exp\left(-\frac{\mu \vec{v}^2}{2kT}\right)$$ (96)

で求められることが分かる。 これは相対速度に対する Maxwell 分布になっている。