2 核反応の反応率

核反応 ${\rm X(a,b)Y}$ の反応率を計算することを考える。 粒子 X の数密度を $N_{\rm X}$ とし、粒子 a の数密度を $N_{\rm a}$ と書くことにする。 更に、反応の断面積を $\sigma_{\rm aX}(v)$ と書き、 二粒子の相対速度 $v$ が $v$ と $v+dv$ との間にある粒子 a （または 粒子 X）の割合を $\phi(v)$ （但し $\int_{0}^{\infty}\phi(v)dv=1$）と書くことにする。 このとき、 反応率（単位時間単位体積当たりに起こる反応の数）は

$$r_{\rm a X} = N_{\rm a} N_{\rm X} \int_{0}^{\infty} v\sigma_{\... ...(v) \phi(v) dv \equiv N_{\rm a} N_{\rm X} \langle v \sigma \rangle_{\rm aX}$$ (9)

で与えられる。 粒子 X と粒子 a が同一である場合を考えて

$$r_{\rm a X} = \frac{N_{\rm a} N_{\rm X} \langle v \sigma \rangle_{\rm aX}}{1+\delta_{\rm a X} }$$ (10)

と書く必要がある。 ここで $\delta_{\rm a X}$ はクロネッカーのデルタである。 後の便利のために、

$$\lambda_{\rm a X} =\langle v \sigma \rangle_{\rm aX}$$ (11)

なる記号を導入する。 核反応による粒子 X の数密度の時間変化は

$$\left(\del{N_{\rm X}}{t}\right)_{\rm a} =-(1+\delta_{\rm a X} )r... ...\lambda_{\rm a X} \equiv -\frac{N_{\rm X} }{\tau_{\rm a}\left({\rm X}\right)}$$ (12)

で与えられる。ここで $\left(1+\delta_{\rm a X} \right)$ は一回の反応で消滅する粒子 X の数であり、 また

$$\tau_{\rm a}\left({\rm X}\right)=\frac{1}{N_{\rm a} \lambda_{\rm a X} }$$ (13)

は粒子 X の粒子 a との反応に対する寿命である。 核反応 ${\rm X(a,b)Y}$ の $Q$ 値を $Q_{\rm a X}$ と書けば、 この反応によって単位時間単位体積当たりに発生する（または吸収される）エネルギーの量は $Q_{\rm a X} r_{\rm a X}$ と書ける。 このとき等式

$$\rho \varepsilon_{\rm a x} =Q_{\rm a X} r_{\rm a X}$$ (14)

で単位時間単位体積当たりに発生するエネルギー $\varepsilon_{\rm a x}$ を定義することができる。 この $\varepsilon_{\rm a x}$ を使って $r_{\rm a X}$ を

$$r_{\rm a X} = \frac{\rho \varepsilon_{\rm a x} }{Q_{\rm a X} }$$ (15)

と表せば

$$\left(\del{N_{\rm X}}{t}\right)_{\rm a} =-(1+\delta_{\rm a X} )\frac{\rho \varepsilon_{\rm a x} }{Q_{\rm a X} }$$ (16)

と書くこともできる。 また、質量密度 $\rho$ のガス中に含まれる粒子 X の割合を質量比で $X$ と書き、 粒子 X 一個の質量を $M_{\rm X}$ と書けば、 $N_{\rm X} = \rho {\rm X}/m$ であるので

$$\left(\del{{\rm X}}{t}\right)_{\rm a} =-(1+\delta_{\rm a X} )\frac{m_{\rm X} \varepsilon_{\rm a x} }{Q_{\rm a X} }$$ (17)

と書くこともできる。 もし、更なる反応 ${\rm c +Y \to d + Z }+Q_{\rm cY}$ が起こるとすれば $Q_{\rm cY} r_{\rm cY}=\rho \varepsilon_{\rm cY}$ として、

$$\del{N_{\rm Y}}{t} =r_{\rm a X} -(1+\delta_{\rm c Y})r_{\rm cY} ... ...rm a X} } -(1+\delta_{\rm cY})m_{\rm Y}\frac{\varepsilon_{\rm cY}}{Q_{\rm cY}}$$ (18)

などとなる。