5 平衡に達している場合

CN 循環反応が平衡状態に達しているとすれば、

$$\rho \varepsilon_{\rm CN} = \frac{Q_1-Q_\nu^1}{\tau_{\rm p{C}^{12... ...m C^{13}}(\infty) +\frac{Q_3-Q_\nu^3}{\tau_{\rm p{N}^{14}}}{\rm N^{14}}(\infty)$$ (89)

であるが、(77)から

$$\tau_{\rm p{N}^{14}}{\rm C^{12}}(\infty) = \tau_{\rm p{C}^{12}}{\rm N^{14}}(\infty)$$

$$\tau_{\rm p{C}^{13}}{\rm C^{12}}(\infty) = \tau_{\rm p{C}^{12}}{\rm C^{13}}(\infty)$$

$$\tau_{\rm p{N}^{14}}{\rm C^{13}}(\infty) = \tau_{\rm p{C}^{13}}{\rm N^{14}}(\infty)$$

の関係式が成り立つので、

$$(\ref{85_1}) =\frac{Q_1-Q_\nu^1}{\tau_{\rm p{C}^{12}} + \tau_{\rm p{C}^{13}} +... ...^{13}}+\tau_{\rm p{N}^{14}}}{\tau_{\rm p{C}^{12}}} \right) {\rm C^{12}}(\infty)$$

$$\hspace{20mm}+\frac{Q_2}{ \tau_{\rm p{C}^{12}} + \tau_{\rm p{C}^{... ...^{12}}+\tau_{\rm p{C}^{13}}}{\tau_{\rm p{N}^{14}}} \right) {\rm N^{14}}(\infty)$$

$$=\frac{Q_1+Q_2+Q_3-Q_\nu^1-Q_\nu^3}{ \tau_{\rm p{C}^{12}} + \tau_... ...} }\left( {\rm C^{12}}(\infty)+{\rm C^{13}}(\infty)+{\rm N^{14}}(\infty)\right)$$

$$\hspace{10mm} -\frac{Q_1-Q_\nu^1}{\tau_{\rm p{C}^{12}} + \tau_{\r... ...u_{\rm p{C}^{12}}{\rm N^{14}}(\infty)\right\} } }{\tau_{\rm p{C}^{12}}} \right]$$

$$\hspace{20mm}-\frac{Q_2}{ \tau_{\rm p{C}^{12}} + \tau_{\rm p{C}^{... ...tau_{\rm p{C}^{13}}{\rm N^{14}}(\infty)\right\} }{\tau_{\rm p{C}^{13}}} \right]$$

$$\hspace{30mm}-\frac{Q_3-Q_\nu^3}{\tau_{\rm p{C}^{12}} + \tau_{\rm... ...tau_{\rm p{N}^{14}}{\rm C^{13}}(\infty)\right\} }{\tau_{\rm p{N}^{14}}} \right]$$

$$=\frac{Q_1+Q_2+Q_3-Q_\nu^1-Q_\nu^3}{ \tau_{\rm p{C}^{12}} + \tau_{\rm p{C}^{13}} +\tau_{\rm p{N}^{14}} } {\rm N_{CN}} + 0 + 0 +0$$

$$=\frac{Q_1+Q_2+Q_3-Q_\nu^1-Q_\nu^3}{ \tau_{\rm p{C}^{12}} + \tau_{\rm p{C}^{13}} +\tau_{\rm p{N}^{14}} } {\rm N_{CN}}$$

$$\therefore\quad \rho \varepsilon_{\r... ...au_{\rm p{C}^{12}} + \tau_{\rm p{C}^{13}} +\tau_{\rm p{N}^{14}} } {\rm N_{CN}}$$ (90)

と書くことができる。ここで ${\rm C^{12}}(\infty)+{\rm C^{13}}(\infty)+{\rm N^{14}}(\infty)= {\rm C^{12}}(0)+{\rm C^{13}}(0)+{\rm N^{14}}(0)={\rm N_{CN}}$ とする。

もし、 ${\rm N^{14} +p}$ の反応が共鳴反応でなければ $\tau_{\rm p{C}^{12}},\tau_{\rm p{C}^{13}}\ll\tau_{\rm p{N}^{14}}$ であり、 よい近似で

$$\rho \varepsilon_{\rm CN} = \frac{Q_1+Q_2+Q_3-Q_\nu^1-Q_\nu^3}{ \tau_{\rm p{N}^{14}} } {\rm N_{CN}}$$ (91)

で与えられる。 （pp chain の場合も含めて）エネルギー生成率は最も遅い反応の時間スケールで決まる。