1 CN循環、ON循環

今まで同様に反応の式より関係を書き下すと、(59)は反応の分岐率 $\alpha$ に注意して、

$$\di{{\rm C^{12}}}{t} = -r _{\rm p C^{12}} +\alpha r_{\rm p N^{15}... ...12}\right)} + \alpha \frac{{\rm N^{15}}}{\tau_{\rm p}\left({\rm N}^{15}\right)}$$ (60)

$$\di{{\rm N^{13}}}{t} = \underbrace{ r_{\rm p{\rm C^{12}}}-r_{\rm\... ... C}^{12}\right)} -\frac{{\rm N^{13}}}{\tau_{\rm\beta}\left({\rm N}^{13}\right)}$$ (61)

$$\di{{\rm C^{13}}}{t} = r_{\rm\beta^+ {\rm N^{13}}} -r_{\rm p {\rm... ...\rm N}^{13}\right)} -\frac{{\rm C^{13}}}{\tau_{\rm p}\left({\rm C}^{13}\right)}$$ (62)

$$\di{{\rm N^{14}}}{t} = r_{\rm p {\rm C^{13}}} - r_{\rm p {\rm N^{... ...\rm N}^{14}\right)} +\frac{{\rm O^{17}}}{\tau_{\rm p}\left({\rm O}^{17}\right)}$$ (63)

$$\di{{\rm O^{15}}}{t} = r_{\rm p {\rm N^{14}}} -r_{\rm\beta^+ {\rm... ... N}^{14}\right)} -\frac{{\rm O^{15}}}{\tau_{\rm\beta}\left({\rm O}^{15}\right)}$$ (64)

$$\di{{\rm N^{15}}}{t} = r_{\rm\beta^+ {\rm O^{15}}} -r_{\rm p {\rm... ...\rm O}^{15}\right)} -\frac{{\rm N^{15}}}{\tau_{\rm p}\left({\rm N}^{15}\right)}$$ (65)

$$\di{{\rm O^{16}}}{t} = \gamma r_{\rm p {\rm N^{15}}} -r_{\rm p {\... ...rm N}^{15}\right)} - \frac{{\rm O^{16}}}{\tau_{\rm p}\left({\rm O}^{16}\right)}$$ (66)

$$\di{\rm F^{17}}{t} = r_{\rm p {\rm O^{16}}}-r_{\rm\beta^+ F^{17}}... ...rm O}^{16}\right)} -\frac{\rm F^{17}}{\tau_{\rm\beta}\left({\rm F}^{17}\right)}$$ (67)

$$\di{{\rm O^{17}}}{t} =r_{\rm\beta^+ F^{17}} -r_{\rm p{\rm O^{17}}... ...\rm F}^{17}\right)} -\frac{{\rm O^{17}}}{\tau_{\rm p}\left({\rm O}^{17}\right)}$$ (68)

と書けることが分かる。 ここで時間スケール（問題にしている反応に対する寿命）などは、(13)を使って

$$\tau_{\rm p}\left({\rm C}^{12}\right) = \frac{1}{\lambda_{\rm p {\rm C^{12}}}{\rm H}}$$ (69)

などと定義される量である。 また分岐率は $\alpha = 1-\gamma$ であり、 $\gamma \approx 4\times 10^{-4}$ 程度の小さい数である。 $\tau_{\rm\beta}\left({\rm N}^{13}\right)$ などは、 ${\rm N^{13}}$ 原子核の ${\rm\beta^+}$ 崩壊に対する寿命であり、 数分から数十分程度の時間である。 以下では、 ${\rm H}$ の時間変化率は ${\rm C^{12}}$ に比べて十分小さいものとする。