3 二次関数波

$$f_3(t) = \begin{cases}t\left(1+\frac{t}{2}\right) & -2 \leq t < 0 \\ t & t=0 \\ t\left(1-\frac{t}{2}\right) & 0< t \leq 2 \end{cases} T = 4,\,\omega = \frac{\pi}{2}$$ (10)

$$c_0 = \frac{1}{4}\int_T f_3(t)dt =0$$

$$c_n =\frac{1}{4}\left\{ \int_{-2}^{0} \left(t+\frac{t^2}{2}\right)e^{... ...mega t}dt +\int_{0}^{+2} \left(t-\frac{t^2}{2}\right)e^{-in\omega t}dt \right\}$$

$$=-\frac{1}{4in\omega} \left\{ \left[\left(t+\frac{t^2}{2}\right)e... ...ht)e^{-in\omega t}\right]_0^{+2} -\int_0^{+2} (1-t) e^{-in\omega t} dt \right\}$$

$$= \frac{1}{in\omega} \left[ \frac{1}{4} \left( \int_{-2}^0 (1+t)e... ...a} +\frac{1}{in\omega} \frac{e^{2in\omega}+e^{-2in\omega}-2}{4in\omega} \right]$$

$$\therefore\, C_n =\frac{1}{in\omega} \left[ -\frac{e^{in\omega(t+2)}-e^{in\omega(t... ...rac{e^{-in\omega(t+2)}+e^{-in\omega(t-2)}-2 e^{-in\omega t}}{4in\omega} \right]$$

$$= \frac{e^{in\omega(t+2)}-e^{in\omega(t-2)}}{4n^2\omega^2} - \fra... ...ega^2}\frac{e^{-in\omega(t+2)}+e^{-in\omega(t-2)}-2 e^{-in\omega t}}{4in\omega}$$

$$=\frac{\sin n\omega t}{n^3\omega^3} -\frac{1}{2}\frac{\sin\left\{... ...}}{n^2\omega^2} -\frac{1}{2}\frac{\cos\left\{n\omega(t-2)\right\}}{n^2\omega^2}$$

$$=-\delta''(t)+\frac{1}{2}\delta''(t+2) + \delta''(t-2)+\frac{1}{2}\delta'(t+2) -\frac{1}{2}\delta'(t-2), \,\, , \quad n\to \infty$$

以上より、Eq.(10)は以下のように書くことができる。

$$f_3(t)\sim \sum_{n=1}^{+\infty} \left[ \frac{\sin n\omega t}{n^3\... ...ega^2} -\frac{1}{2}\frac{\cos\left\{n\omega(t-2)\right\}}{n^2\omega^2} \right], \,\omega = \frac{\pi}{2}$$ (11)

図 7: $N=1,5,10$

図 8: $N=1000$

図 9: $t=0$での挙動

図 10: $t=1.0$での挙動