2 鋸波

$$f_2(t) = \begin{cases}1+t & -2 \leq t < 0 \\ 1 & t=0 \\ 1-t & 0< t \leq 2 \end{cases} T = 4,\,\omega = \frac{\pi}{2}$$ (8)

$$c_0 = \frac{1}{4}\int_T f_2(t)dt =0$$

$$c_n =\frac{1}{4} \left\{ \int_{-2}^{0} (1+t)e^{-in\omega t } dt + \int_0^{+2}(1-t)e^{-in\omega t}dt\right\}$$

$$=-\frac{1}{4in\omega} \left( \left[(1+t)e^{-in\omega t}\right]_{-... ...\left[(1-t)e^{-in\omega t}\right]_{0}^{+2}+\int_0^{+2}e^{-in\omega t}dt \right)$$

$$=-\frac{1}{4in\omega}\left( 1+ e^{2in\omega }-e^{-2in\omega}-1\ri... ...4in\omega} +\frac{1}{in\omega} \frac{e^{2in\omega}+e^{-2in\omega}-2}{4in\omega}$$

$$\therefore\, C_n =-\frac{e^{in\omega(t+2)}-e^{in\omega(t-2)}}{4in\omega} + \frac{e... ...omega}\frac{e^{-in\omega(t+2)}+e^{-in\omega(t-2)}-2 e^{-in\omega t}}{4in\omega}$$

$$=-\frac{1}{2} \frac{\sin \left\{ n\omega(t+2) \right\}}{n\omega} ... ...}}{n^2\omega^2} -\frac{1}{2}\frac{\cos\left\{n\omega(t-2)\right\}}{n^2\omega^2}$$

$$=-\frac{1}{2} \delta(t+2) + \frac{1}{2} \delta(t-2)+\delta'(t)-\frac{1}{2}\delta'(t+2) -\frac{1}{2}\delta'(t-2), \,\, , \quad n\to \infty$$

以上より、Eq.(8)は以下のように書くことができる。

$$f_2(t)\sim \sum_{n=1}^{+\infty} \left[ -\frac{1}{2} \frac{\sin \l... ...ega^2} -\frac{1}{2}\frac{\cos\left\{n\omega(t-2)\right\}}{n^2\omega^2} \right], \,\omega = \frac{\pi}{2}$$ (9)

図 4: $N=1,5,10$

図 5: $N=1000$

図 6: $t=0$での挙動