としてもやはり陰公式を与える。
これは Crank-Nicolson の公式として知られている。
としたとき、(8) は
![$\displaystyle -0.5\alpha U_{j-1}^{n+1} +(1+\alpha)U_j^{n+1} -0.5 \alpha U_{j+1}^{n+1} =V_j^n = 0.5\alpha U_{j-1}^{n} +(1-\alpha)U_j^{n} +0.5 \alpha U_{j+1}^{n}$](Diffusion_equation-img71.png) |
(27) |
と書き換えることができ、
(9)と(10)は
![$\displaystyle \begin{pmatrix}1+\alpha & -\alpha/2 & & & & 0 -\alpha/2 & 1+\...
... V_2^{n} \vdots \vdots V_{J-2}^{n} V_{J-1}^{n} \end{pmatrix}$](Diffusion_equation-img72.png) |
(28) |
と書けるので、
時刻
での
が
から
まで与えられたとすれば、
(28)の両辺に大きな行列
の逆行列を掛けてやれば、
時刻
での
が求められることになる。
のときと同様に
(27)は形式的に
![$\displaystyle P_j' U_{j-1}^{n+1} +Q_j' U_j^{n+1} +R_j' U_{j+1}^{n+1} =V_j^n$](Diffusion_equation-img74.png) |
(29) |
と書ける。ここで
![$\displaystyle P_j' = -\frac{\alpha}{2} , \quad Q_j' =1+\alpha , \quad R_j' = -\frac{\alpha}{2}$](Diffusion_equation-img75.png) |
(30) |
であり、
![$\displaystyle P_1' =0 ,\quad R_{J-1}' =0$](Diffusion_equation-img76.png) |
(31) |
とした。以下も同様な議論により
![$\displaystyle \tilde{Q}_j' U_j^{n+1} + R_j' U_{j+1}^{n+1} =\tilde{V}_j^n$](Diffusion_equation-img77.png) |
(32) |
![$\displaystyle \tilde{Q}_j' = Q_j' -\frac{P_j' R_{j-1}'}{\tilde{Q}_{j-1}'} ,\quad \tilde{V}_j^n = V_j^n -\frac{P_j' \tilde{V}_{j-1}^n}{\tilde{Q}_{j-1}'}$](Diffusion_equation-img78.png) |
(33) |
![% latex2html id marker 1336
$\displaystyle \tilde{Q}_{J-1}' U_{J-1}^{n+1} = \til...
...n \quad \therefore U_{J-1}^{n+1} = \frac{\tilde{V}_{J-1}^n}{\tilde{Q}_{J-1}'}$](Diffusion_equation-img79.png) |
(34) |
を得る。
このように求められた
と漸化式(32)とを使えば、
![$\displaystyle U_j^{n+1} = \frac{\tilde{V}_j^n -R_j' U_{j+1}^{n+1}}{\tilde{Q}_j'}$](Diffusion_equation-img80.png) |
(35) |
より、
から
までの
を求めることができる。
尚、
は(27) 右辺より
![$\displaystyle V_j^n = 0.5 \alpha U_{j+1}^n +(1-\alpha)U_j^n +0.5 \alpha U_{j-1}^n$](Diffusion_equation-img81.png) |
(36) |
で与えられる。
fat-cat
平成16年11月30日