2 p=0.5の場合(Crank-Nicolsonの公式)

としてもやはり陰公式を与える。これは Crank-Nicolson の公式として知られている。としたとき、(8) は

$\displaystyle -0.5\alpha U_{j-1}^{n+1} +(1+\alpha)U_j^{n+1} -0.5 \alpha U_{j+1}^{n+1} =V_j^n = 0.5\alpha U_{j-1}^{n} +(1-\alpha)U_j^{n} +0.5 \alpha U_{j+1}^{n}$

(27)

と書き換えることができ、 (9)と(10)は

$\displaystyle \begin{pmatrix}1+\alpha & -\alpha/2 & & & & 0 -\alpha/2 & 1+\... ... V_2^{n} \vdots \vdots V_{J-2}^{n} V_{J-1}^{n} \end{pmatrix}$

(28)

と書けるので、時刻 $t{}^n$ での

が

から

まで与えられたとすれば、 (28)の両辺に大きな行列

の逆行列を掛けてやれば、時刻 $t{}^{n+1}$ での $U_j^{n+1}$ が求められることになる。

のときと同様に (27)は形式的に

$\displaystyle P_j' U_{j-1}^{n+1} +Q_j' U_j^{n+1} +R_j' U_{j+1}^{n+1} =V_j^n$

(29)

と書ける。ここで

$\displaystyle P_j' = -\frac{\alpha}{2} , \quad Q_j' =1+\alpha , \quad R_j' = -\frac{\alpha}{2}$

(30)

であり、

$\displaystyle P_1' =0 ,\quad R_{J-1}' =0$

(31)

とした。以下も同様な議論により

$\displaystyle \tilde{Q}_j' U_j^{n+1} + R_j' U_{j+1}^{n+1} =\tilde{V}_j^n$

(32)

$\displaystyle \tilde{Q}_j' = Q_j' -\frac{P_j' R_{j-1}'}{\tilde{Q}_{j-1}'} ,\quad \tilde{V}_j^n = V_j^n -\frac{P_j' \tilde{V}_{j-1}^n}{\tilde{Q}_{j-1}'}$

(33)

$% latex2html id marker 1336 $\displaystyle \tilde{Q}_{J-1}' U_{J-1}^{n+1} = \til... ...n \quad \therefore U_{J-1}^{n+1} = \frac{\tilde{V}_{J-1}^n}{\tilde{Q}_{J-1}'}$$