4 コンプトン散乱

光子が電子に散乱される現象（コンプトン効果）を電子と光子との衝突現象と考える。 衝突前の電子は静止しているとし、 その電子と光子の四元運動量ベクトルをそれぞれ

$$p_{ ei}^\alpha= \left( mc ,0,0,0\right),\quad p_{ \gamma i}^\alpha = \left( \frac{\varepsilon}{c}, \frac{\varepsilon}{c}\vn_i \right)$$

と書き、 また衝突した後の四元運動量ベクトルをそれぞれ

$$p_{ ef}^\alpha= \left( \frac{E}{c} , \vp \right),\quad p_{ \gamma f}^\alpha = \left( \frac{\varepsilon_f}{c}, \frac{\varepsilon_f}{c}\vn_f \right)$$

と書くことにする。 ここで $\vn_i$ と $\vn_f$ は衝突前後での光子の伝播方向を表す単位ベクトルである。 衝突前後での四元運動量ベクトルの保存則は

$$p_{\gamma i}^\alpha + p_{e i}^\alpha = p_{\gamma f}^\alpha + p_{e f}^\alpha$$ (17)

と書ける。

$p_{ef}^\alpha = p_{\gamma i}^\alpha + p_{ei}^\alpha - p_{\gamma f}^\alpha$ とすると、

$$-m^2 c^2 = \eta_{\alpha \beta } p_{ef}^\alpha p_{ef}^\beta \quad ... ...ght\vert^2 = \left\vert \vp_{ei} +\vp_{\gamma i} - \vp_{\gamma f} \right\vert^2$$ (18)

であるから、 $\vn_i = \left(1,0,0\right)$ 、 $\vn_f = \left( \cos\theta ,\sin\theta ,0\right)$ とおくと、

$$p_{ei}^\alpha = \left(mc,0,0,0\right),\quad p_{\gamma i}^\alpha =... ..., \frac{\vepsilon_f}{c} \cos\theta, \frac{\vepsilon_f}{c}\sin\theta ,0 \right)$$

を代入すれば、

$$\vp_{ef}^2 = \vp_{ei}^2 + \vp_{\gamma i}^2 + \vp_{\gamma f}^2 + 2 \vp_{\gamm... ...\vp_{ei} -2 \vp_{ei}\cdot \vp_{\gamma f} -2 \vp_{\gamma i} \cdot \vp_{\gamma f}$$

$$\Longrightarrow\quad 0=-\frac{\vepsilon}{c} mc + mc \frac{\ve... ...epsilon_f \left\{ 1+ \frac{\vepsilon}{mc^2} \left(1-\cos\theta\right) \right\}$$

となり、次のコンプトン散乱の式を得る。

$$\vepsilon_f = \frac{\vepsilon}{1+ \dfrac{\vepsilon}{mc^2} \left( 1-\cos\theta\right)}$$ (19)

光子について、 $\vepsilon = h\nu,\vepsilon_f= h\nu_f,mc^2=h\nu_c$、 $\lambda = c/\nu$ であるから、Eq.(19)を波長で書き直すと

$$\frac{hc}{\lambda_f}= \frac{ \dfrac{hc}{\lambda}}{ 1+ \dfrac{hc}{... ...\dfrac{1}{\lambda}}{ 1+ \dfrac{\lambda_c}{\lambda} \left(1-\cos\theta\right) }$$

であるから、

$$\lambda_f -\lambda = \lambda_c \left(1-\cos\theta\right)$$ (20)

を得る。ここで $\lambda_c$ はコンプトン波長で

$$\lambda_c \equiv \frac{h}{m c} = 0.0243 {\rm\AA}$$

である。

Eq.(19)またはEq.(20) が示すように、 静止している電子との散乱により光子はエネルギーを失って、 その波長は長くなる（エネルギーが小さくなる）ことが分かる。 ただ、電子のコンプトン波長に比べて光子の波長が十分長ければ（光子のエネルギーが電子の静止エネルギーに比べて十分小さければ）、 散乱による光子の波長変化（エネルギー変化）は無視できるほど小さい。