1-6-a)

最大強度になる周波数と温度の間に

$$h\nu \sim 2.82 k_BT$$ (26)

の関係があることを示せ。 これをWienの変位則という。これを使ってCMBの強度が最大となる周波数を求めよ。

1-6-a)解答

Eq.(25)で強度が最大になるときの周波数 $\nu_{\rm peak}$を考えると、

$$\del{I_\nu}{\nu}\bigg\vert _{\nu=\nu_{\rm peak}} =0$$

が成り立つ。 今、

$$I_\nu(T) = \frac{2h\nu^3/c^3}{\exp(h\nu/kT) -1} \propto \frac{x^3}{e^x -1} = f(x)$$

として、 $f(x)$ が最大となる $x$ の値を求めることを考える。

$$f'(x)= \frac{3x^2}{e^x-1}-\frac{x^3 e^x}{(e^x-1)^2} \hbox{、従って} \quad g(x)=3(e^x -1) -xe^x$$

などとして、 関数 $g(x)$ の零点 $g(x)=0$ を数値的に求めると、

$$x = 2.82143\cdots$$

となるので、 $\nu_{\rm peak}$ は

$$h \nu_{\rm peak} = 2.82 k_BT \quad\hbox{or}\quad \nu_{\rm peak} = 5.88 \times 10^{10} \left(\frac{T}{[{\rm K}]} \right) \quad{\rm Hz}$$ (27)

となる。 $T=T_{{\rm CMB}}=2.73$を代入すると

$$\nu_{{\rm peak}} =2.82 \frac{2.73}{4.799238\times 10^{-11}} =1.60413\times 10^{11} \sim 160\,[{\rm GHz}] .$$ (28)

著者: 茅根裕司 chinone_at_astr.tohoku.ac.jp