1-4

温度$T$( $k_B T \ll m_e c^2$の非相対論的極限で)で熱運動している電子の$\beta^2$の平均が $3k_BT/(m_ec^2)$で与えられることを示せ。 この時電子の速度分布関数は、Maxwell-Boltzmann分布で与えられる。

1-4解答

$$\left\langle \beta^2 \right\rangle = \left( \frac{m_e}{2\pi k_BT} \right)^{3/2} \frac{1}{c^2} \int_{... ...z^2\right) \exp\left[ -\frac{m_e}{2k_BT} \left(v_x^2+v_y^2+v_z^2\right) \right]$$

$$= \left( \frac{m_e}{2\pi k_BT} \right)^{3/2} \frac{1}{c^2} \times... ...ty} dv_ydv_z\, \exp\left[ -\frac{m_e}{2k_BT} \left( v_x^2+v_y^2 \right) \right]$$

$$= \left( \frac{m_e}{2\pi k_BT} \right)^{3/2} \frac{1}{c^2} \times... ...ambda x^2}dx =\frac{\left(2n-1\right)!!}{2^n} \sqrt{\frac{\pi}{\lambda^{2n+1}}}$$

$$=3\frac{k_B T}{m_ec^2}$$ (14)

著者: 茅根裕司 chinone_at_astr.tohoku.ac.jp