1-6-c)

以下、Rayleigh-Jeans limitで考える。 CMB photonが電子により逆コンプトン散乱を受けることで強度が

$$\Delta I_\nu = -\frac{2k_B T\nu^2}{c^2} 2y \, ; \quad y= \left\langle \frac{\Delta\epsilon}{\epsilon} \right\rang... ...s}} = \left\langle \frac{\Delta\epsilon}{\epsilon} \right\rangle \sigma_T n_e L$$ (30)

だけ変化することを示せ。$y$はcompton y parameterと呼ばれる。 この結果、銀河団領域をCMBのRayleigh-Jeans領域で観測すると、CMBの温度が、

$$\Delta T =-2yT$$ (31)

だけ変化することを示せ。 典型的な銀河団の値 $n_e=10^{-3}\,{\rm cm^{-3}}$、 $k_BT=10\,{\rm keV}$、 $L=1\,{\rm Mpc}$で規格化せよ。

1-6-c)解答

inverse comptonにより、photonのエネルギー分布が変化する。 photonエネルギー分布の変化は、周波数分布の変化である。 よって、強度の変化を計算するには、 単位周波数当たりではなく、周波数空間での広がりの変化を考慮する必要がある。

今、周波数$\nu$に注目し、 $[\nu,\nu+\Delta \nu]$に入ってくるphotonのエネルギーを考える。 invers comptonにより変化するphotonのエネルギーは、

$$h\nu = h\nu_{-} + \left\langle \Delta \epsilon \right\rangle \qua... ...-} \left(1+ \left\langle \frac{\Delta \epsilon}{\epsilon} \right\rangle \right)$$ (32)

である。変化量は周波数に依存しない。 inverse comptonは散乱であるので、入ってくるエネルギーは

$$\epsilon_{{\rm in}} = \left( \text{$[\nu,\nu+\Delta \nu_{-}]$に存在するphoton数} \rig... ...ight) \times \left( \text{ 散乱された後のphoton壱個当たりのエネルギー } \right)$$

$$= \frac{\dfrac{2h}{c^2} k_B T \nu_{-}^2 \Delta \nu_{-}}{h\nu_{-}}... ...rm es}} \times h\nu =\frac{2hk_BT\tau_{{\rm es}}}{c^2} \nu\nu_{-}\Delta \nu_{-}$$ (33)

と書くことが出来る。同様に出ていくphotonについて考えると、

$$\epsilon_{{\rm out}} = \left( \text{$[\nu,\nu+\Delta \nu]$に存在するphoton数} \right) ... ...ight) \times \left( \text{ 散乱される前のphoton壱個当たりのエネルギー } \right)$$

$$= \frac{\dfrac{2h}{c^2} k_B T \nu^2 \Delta \nu}{h\nu} \times \tau_{{\rm es}} \times h\nu =\frac{2hk_BT\tau_{{\rm es}}}{c^2} \nu^2\Delta \nu$$ (34)

となる。よってその変化量から、

$$\Delta I_\nu \Delta\nu = \epsilon_{{\rm in}} - \epsilon_{{\rm out}} =\frac{2hk_BT\tau_{{... ...a \epsilon}{\epsilon} \right\rangle \right)^{-2} \Delta \nu -\Delta \nu \right]$$

$$= \frac{2hk_BT\tau_{{\rm es}}}{c^2} \nu^2 \left( 1-2 \left\langle... ...frac{\Delta \epsilon}{\epsilon} \right\rangle \tau_{{\rm es}} \right) \Delta\nu$$

$$= -\frac{2k_B T \nu^2}{c^2}2y\,\Delta \nu \,; \qquad \Delta I_\nu^{{\rm RJ}} =-2y I_\nu^{{\rm RJ}} \qquad \Longrightarrow \qquad \Delta T =-2yT .$$ (35)

具体的に値を代入する：

$$\left\langle \frac{\Delta\epsilon}{\epsilon} \right\rangle = \frac{4k_B T_e}{m_ec^2} = \frac{4\cdot 10\cdot 10^3\left(\dfrac... ... 10^6\,[{\rm eV}]} =0.0782779 \times \left( \frac{T_e}{10\,[{\rm keV}]} \right)$$

$$= 7.8\times 10^{-2} \left( \frac{T_e}{10\,[{\rm keV}]} \right)$$ (36)

$$\tau_{{\rm es}} = \sigma_T n_e L = \left( 0.665 \times 10^{-24} \,[{\rm cm^2}] \r... ...s 10^{18} \times 10^6 \,[{\rm cm}] \left( \frac{L}{[{\rm Mpc}]} \right) \right]$$

$$=0.00205485 \left( \frac{n_e}{10^{-3}\,[{\rm cm^{-3}}]} \right) \... ...rac{n_e}{10^{-3}\,[{\rm cm^{-3}}]} \right) \left( \frac{L}{[{\rm Mpc}]} \right)$$ (37)

$$\therefore\, y = \left\langle \frac{\Delta\epsilon}{\epsilon} \right\rangle \tau... ...rac{n_e}{10^{-3}\,[{\rm cm^{-3}}]} \right) \left( \frac{L}{[{\rm Mpc}]} \right)$$

$$= 1.6\times 10^{-4} \times \left( \frac{T_e}{10\,[{\rm keV}]} \ri... ...rac{n_e}{10^{-3}\,[{\rm cm^{-3}}]} \right) \left( \frac{L}{[{\rm Mpc}]} \right)$$ (38)

$$\Longrightarrow \quad \Delta T_{{\rm CMB}} =- \left( 2\cdot 2.725\,[{\rm K}] \right) y\left(\frac{T_{{\rm CM... ...rac{L}{[{\rm Mpc}]} \right) \left(\frac{T_{{\rm CMB}}}{2.725\,[{\rm K}]}\right)$$

$$= 0.88 \left( \frac{T_e}{10\,[{\rm keV}]} \right) \left( \frac{n_... ...Mpc}]} \right) \left(\frac{T_{{\rm CMB}}}{2.725\,[{\rm K}]}\right) \,[{\rm mK}]$$ (39)

著者: 茅根裕司 chinone_at_astr.tohoku.ac.jp