2-3

温度 $k_BT = 10\,\left[\text{keV}\right]$、電子個数密度 $n_e=10^{-3}\,[{\rm {cm}^{-3}}]$の電子プラズマが、半径 $1\,[{\rm Mpc}]=3\times 10^{24}\,[{\rm cm}]$の球内に一様に分布している天体を考える。 この天体が観測者から距離 $100\,[{\rm Mpc}]$離れた所に存在するとする。この時この天体から熱制動放射により放射される $1\,[{\rm keV}]$以上のエネルギーを持った光子を観測する。 $1\,[{\rm cm^{2}}]$当たり、 単位時間当たりに観測者に到達する $1\,[{\rm keV}]$以上の光子の数を求めよ。但し電子の速度分布で平均化したガウンとファクターを$1$とし、 $\int_{0.1}^{\infty}x^{-1}e^{-x}dx=1.82$を用いよ。

2-3解答

$\epsilon_\nu^{\text{\it {ff}}}$は $\left(\text{光子一個のエネルギー}\right)\times \left(\text{分布関数}\right)$の様なものなので、光子の数を求めるには、$h\nu$で割ればいいことになる。 問題では $h\nu\geq 1\,[{\rm keV}]$の光子の数を聞いているので、この領域で積分を実行すると、 $n_e=10^{-3}\,[{\rm cm^{-3}}],k_B T=10\,[{\rm keV}],V=4\pi\left(1\,[{\rm Mpc}]\right)^3/3$を代入して

$$L =\di{N}{t} = \int \frac{dW}{d\nu dVdt}\frac{d\nu}{h\nu}dV =\frac{... ...t(3.0856775807\times 10^{24}\right)^3 \times \int_{0.1}^{\infty} x^{-1}e^{-x}dx$$

$$=2.14684 \times 10^{53}\,[{\rm sec^{-1}}]$$ (13)

を得る。ここでは

$$\int_{0.1}^\infty x^{-1} e^{-x}dx = 1.82$$

を、また $\bar{g}_{\text{{\it {ff}}}}\approx 1$とした。 この天体を $d=100\,[{\rm Mpc}]$の距離から観測するので、観測者が観測する単位面積、単位時間当たりの $h\nu\geq 1\,[{\rm keV}]$以上のエネルギーを持つ光子の数は、 $L=4\pi d^2 I$より、

$$I =\frac{dN}{dtdS} = \frac{L}{4\pi d^2}$$

$$=\frac{ 2.14684 \times 10^{53} }{ 4\pi \left(100\times 10^6 \cdot... ...right)^2} =0.179427\,[{\rm cm^{-2}\,sec^{-1}}] =0.18\,[{\rm cm^{-2}\,sec^{-1}}]$$ (14)

となる。

著者: 茅根裕司 chinone_at_astr.tohoku.ac.jp