4-1

$j$番目（ $j\ne 1,N+1$）の質点の平衡点からの位置のずれを$u_j$とし、この質点の運動方程式をたてよ。但し振り子の振れ角は非常に小さいとする。

4-1解答

系全体の運動エネルギーは

$$K = \sum_{j} \frac{1}{2}m\dot{u}_j^2$$ (8)

である。ポテンシャルエネルギーは撥条以外にも重力ポテンシャルを考慮する。図より鉛直成分の変位$x$は

$$u_j^2 = l^2-\left(l-x\right)^2 = 2lx -x^2\sim 2lx \quad \Longrightarrow \quad x = \frac{u_j^2}{2l}$$

であるから

$$U = \sum_{j}\left[ \frac{1}{2}\kappa \left(u_{j+1}-u_j\right)^2 + \frac{mg}{2l}u_j^2 \right]$$ (9)

である。以上より系全体のラグランジアンは

$$L = K-U =\sum_{j} \left[ \frac{1}{2}m\dot{u}_j^2 -\frac{1}{2}\kappa \left(u_{j+1}-u_j\right)^2 - \frac{mg}{2l}u_j^2 \right]$$ (10)

である。以上をラグランジュ方程式

$$\dI{t}\del{L}{\dot{u}_j} -\del{L}{u_j} =0$$ (11)

に代入すると、運動方程式は

$$m \ddot{u}_j = \kappa \left\{ \left(u_{j+1}-u_{j}\right) - \left(u_j -u_{j-1}\right)\right\} -\frac{mg}{l}u_j$$

$$= \kappa \left(u_{j+1} -2 u_{j} + u_{j-1}\right) -\frac{mg}{l}u_j\qquad j = 2,3,\dots N$$ (12)

となる。 著者: 茅根裕司 chinone_at_astr.tohoku.ac.jp