1-a)

輻射場全放射強度の式を、リエナーの公式：

$$P = \frac{2e^2}{3c^3} \left[ \gamma^6 \left( \dot{\vv}^2 - \left\vert \dot{\vv}\times\bm{\beta} \right\vert^2 \right) \right]$$ (1)

を非相対論的極限をとることで導出せよ。これをラーマーの公式と呼ぶ。

1-a)解答

$\beta \ll 1$とし、$\beta$の ${\cal O}(\beta^4)$まで考えると、

$$\gamma^6 = \left(\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}\right)^6 = \left(1-\b... ...+3\beta^2 + {\cal O}(\beta^4), \quad \frac{\dot{v}^2}{c^2} = {\cal O}(\beta^2)$$

であるから、これよりEq.(1)を評価すると、

$$\frac{2q^2}{3c^3}\left[ \gamma^6 \left( \dot{v}^2 -\left\vert \dot{\vv}\times \bm{\beta}\right\vert^2\right)\right] =\frac{2q^2}{3c^3} \dot{v}^2 \left( 1+3\beta^2+{\cal O}(\beta^4)\right)\left(1-\beta^2\sin^2 i\right)$$

$$= \frac{2q^2\dot{v}^2}{3c^3} + {\cal O}(\beta^4)$$

となるので、Eq.(2)を得る。

$$P = \frac{2q^2 \dot{v}^2}{3c^3}$$ (2)

著者: 茅根裕司 chinone_at_astr.tohoku.ac.jp