4-2

$N$が十分大きい数として、

$$\left\vert \sum_{i=1}^N e^{i\omega t_i}\right\vert^2 =N$$ (32)

が近似的に成り立つことを示せ。

4-2解答

$$\left\vert \sum_{i=1}^N e^{i\omega t_i}\right\vert^2 = \left( \sum_{i=1}^N e^{i\omega t_i} \right)\left( \sum_{i=1}^N ... ...-t_j)} =\sum_{i=j}^N e^{i\omega(t_i-t_j)} +\sum_{i\ne j}^N e^{i\omega(t_i-t_j)}$$

$$=N, \quad \because)\, \sum_{i\ne j}^N e^{i\omega(t_i-t_j)}=0$$

となる。ここで 乱雑なことにより $e^{i\omega(t-t_i)}$各項の位相 $\omega(t-t_i)$も乱雑となり、 和の各成分が相殺し合って全体としての寄与が無視できるほど小さくなる、RPA(Random Phase Approximation)を用いた。

著者: 茅根裕司 chinone_at_astr.tohoku.ac.jp