4-1

$E_0(t)$のFourierスペクトルが

$$\hat{E}(\omega) =\hat{E}_0(\omega) \sum_{i=1}^N e^{i\omega t_i}$$ (31)

であることを示せ。 但し、 $\hat{E}_0(\omega)$は$E_0(t)$のFourierスペクトル。

4-1解答

$E_0(t-t_i)$のFourier変換は、

$$\hat{E}_0(\omega) =\frac{1}{2\pi}\Int dT\, E_0(T)e^{i\omega T} =\... ...-t_i)} =\frac{1}{2\pi}\Int dt\, E_0(t-t_i)e^{i\omega t}\times e^{-i\omega t_i}$$

と書け、また

$$\hat{E}_0(\omega) = \frac{1}{2\pi}\Int dt\, E_0(t)e^{i\omega t}$$

であるから、辺々を比較すると、

$$E_0(t-t_i) = E_0(t)e^{i\omega t_i}$$

を得る。これは、Fourier変換の平行移動の表式である。 これを用いると、

$$\hat{E}(\omega) ={\cal F}\left[\sum_{i=1}^N E_0(t-t_i)\right]= \sum_{i=1}^N {\cal... ...at{E}_0(\omega) e^{i\omega t_i} =\hat{E}_0(\omega) \sum_{i=1}^N e^{i\omega t_i}$$

を得る。

著者: 茅根裕司 chinone_at_astr.tohoku.ac.jp