7-1

輻射場のエネルギー密度$U$と運動量密度$g$のとの間に、

$$g = \frac{U}{c}$$ (19)

の関係があることを示せ。

7-1解答

輻射場のPoynting vectorは

$${\bf S}_{\rm rad} = \frac{c}{4\pi}\left[\vE_{\rm rad}\times \vB_{... ...{4\pi} \left[ \vE^2 \vn\right],\quad \left[ \because\, \vn \cdot \vE =0 \right]$$ (20)

と書ける。一方輻射場のエネルギー密度は

$$U_{\rm rad} = \frac{1}{8\pi}\left[ \vE_{{\rm rad}}^2 +\vB_{{\rm rad}}^2\right] =\frac{1}{4\pi}\left[ \vE^2\right]$$ (21)

と書けるので、これを用いるとPoynting vectorは

$${\bf S}= c U \vn$$ (22)

と書け、確かにエネルギー流束の形になっていることが分かる。 以上より運動量密度$g$は

$$g \equiv \frac{1}{4\pi}\frac{1}{c}\left\vert \vE\times \vB \right\vert =\frac{1}{c^2}\left\vert {\bf S}\right\vert =\frac{U}{c}$$

となる。

著者: 茅根裕司 chinone_at_astr.tohoku.ac.jp