1-2

運動方程式を解き、 粒子の位置と速度を時間の関数として求めよ。 簡単のため $v_z(t=0)=0$とせよ。

1-2解答

Eq.(2),(3)より、

$$\ddot{v}_x +\left(\frac{qB}{mc}\right)^2 v_x =0, \quad \therefore\, v_x(t) = C_1 \cos\left(\frac{qB}{mc}t\right)$$

であるので、更に時間積分して、

$$x(t) = C_1' \sin\left(\frac{qB}{mc} t\right) +C_2$$

を得る。更にEq.(2)と$v_x(t)$の関係から

$$y(t)= C_1' \cos\left(\frac{qB}{mc}t\right) + C_3$$

を得る。$z(t)$はEq.(4)と初期条件より

$$z(t)= C_4$$

となる。ここで $C_1,C_1',C_2,C_3.C_4={\rm Const}$である。

以上より

$$\vr = \Big( \,x(t),\,y(t), \,z(t)\Big) = \Bigg(\, C_1' \sin\left(\frac{qB}{mc} t\right) +C_2,\,C_1' \cos\left(\frac{qB}{mc}t\right) + C_3,\, C_4 \Bigg)$$ (5)

$${\vv} = \Big( \,v_x(t),\, v_y(t),\,v_z(t)\Big) = \Bigg( \, C_1 \cos\left(\frac{qB}{mc}t\right),\, -C_1 \sin\left(\frac{qB}{mc}t\right),\, 0 \Bigg)$$ (6)

著者: 茅根裕司 chinone_at_astr.tohoku.ac.jp