2-1

真空中を伝播する電磁波の四元ポテンシャルが満たす方程式は

$\displaystyle \Nabla^2 \phi -\frac{1}{c^2} \dell{\phi}{t} = -4\pi \rho_e$

(25)

$\displaystyle \Nabla^2 \vA -\frac{1}{c^2} \dell{\vA}{t} = -\frac{4\pi}{c}\vj_e$

(26)

であった。但しここでは四元ポテンシャルがLorentz condition

$\displaystyle \Nabla\cdot \vA +\frac{1}{c}\del{\phi}{t} = 0$

(27)

を満たすようにgaugeを選択した。屈折率

の一様媒質中を伝播する電磁波の満たすべき方程式と、Lorentz conditionに対応する条件を、Eq.(25),(26),(27)から類推して答えよ。

Eq.(25),(26)左辺のダランベルシアンは

$\displaystyle \square = \Nabla^2 -\frac{1}{c^2} \deLL{t} = \Nabla^2 -\frac{1}{v^2}\deLL{t} \quad \Longrightarrow \quad v^2 = c^2$

(28)

という構造をしている。屈折率

の媒質中では光速は

になるので

と書ける。よってこの時のダランベルシアンは

$\displaystyle \square = \Nabla^2 -\frac{n_r^2}{c^2}\deLL{t}$

(29)

と書ける。このことより真空中での関係式を $c\to c/n_r$ で変換すれば、屈折率

の媒質中の関係式になることが類推される。よって、屈折率

の媒質中での方程式は

$\displaystyle \Nabla^2 \phi -\frac{n_r^2}{c^2} \dell{\phi}{t} = -4\pi \rho_e$

(30)

$\displaystyle \Nabla^2 \vA -\frac{n_r^2}{c^2} \dell{\vA}{t} = -\frac{4\pi n_r}{c}\vj_e$

(31)

$\displaystyle \Nabla\cdot \vA +\frac{n_r}{c}\del{\phi}{t} = 0$

(32)

となる。

著者: 茅根裕司 chinone_at_astr.tohoku.ac.jp