1-5

ここまでの取り扱いでは暗黙の内にあることを仮定していることになっている。それは何か答えよ。そのこことから来る上記式の適応限界等を答えよ。

1-5解答

1. ``Inverse'' Compton Scattering.

   電子がエネルギーを光子へと渡さなければならない。つまり光子のエネルギー増加が前提である。 4の結果より、電子が非相対論的な場合、

   $$\Delta \epsilon \big\vert _{{\rm NR}} =\frac{\epsilon}{m_ec^2} \left( 4k_B T -\epsilon \right)$$ (22)

   
   
   であるから、 $\Delta \epsilon \geq 0$の為には、 $\epsilon \leq 4 k_B T$で無ければならない。 $\epsilon > 4k_B T$の場合は、光子が電子にエネルギーを与えることになる。

2. Thomson limit: $\gamma \epsilon \ll m_e c^2$.
3. $\sigma = \sigma_T = {\rm Const.}$ But

   Klein-Nishina formula

   $$\sigma = \sigma_T \,\frac{3}{4} \left\{ \frac{1+x}{x^3} \left[\fr... ...\frac{\ln \left(1+2x\right)}{2x} -\frac{1+3x}{\left(1+2x\right)^2} \right\} \,; \quad x=\frac{h\nu}{m_ec^2}$$ (23)

   
   

   $$\sigma = \begin{cases}{\displaystyle \sigma_T \left( 1- 2x + \fra... ... +o\left(\frac{1}{x^4}\right) \right] } & \text{when}\quad x\gg 1 . \end{cases}$$ (24)

   
   

4. Energy conservation: $\epsilon_1 \leq \epsilon + \gamma m_e c^2$.

脚注

... 4の結果より、電子が非相対論的な場合

相対論的な場合、Eq.(18)の

$$\frac{\Delta \epsilon}{\epsilon} =-\frac{\epsilon}{m_e c^2} + \alpha \gamma$$

となるので、 $\gamma \gg 1$より静止質量を含む項は無視でき、必ず $\Delta \epsilon >0$である（実際は $\epsilon < \gamma m_e c^2 \gg m_e c^2$の範囲で）。

著者: 茅根裕司 chinone_at_astr.tohoku.ac.jp