1-4

温度$T$で熱運動している電子による逆コンプトン放射強度が、 $k_B T \ll m_e c^2$の非相対論的極限で

$$P_{{\rm Comp}} = \frac{4k_B T}{m_e c^2} c \sigma_T U_{{\rm ph}}$$ (14)

で与えられることを示せ。又、この時電子のエネルギー（散乱前で$\epsilon$）が、散乱で $\Delta \epsilon$だけ増加したとすると、それらの比の平均値が

$$\left\langle \frac{\Delta \epsilon}{\epsilon} \right\rangle = \frac{4k_B T}{m_e c^2}$$ (15)

で与えられることを示せ。

1-4解答

問題にあるように $k_B T \ll m_e c^2$の非相対論的極限で考える。散乱前電子静止系(K'系)では

$$\epsilon'_1 \approx \epsilon'\left[ 1-\frac{\epsilon'}{m_e c^2} \left( 1-\cos\Theta \right) \right]$$ (16)

であるから、これの角度平均を取り、整理すると

$$\frac{\Delta \epsilon'}{\epsilon'} \equiv \frac{\epsilon'_1 -\epsilon'}{\epsilon'} =-\frac{\epsilon'}{m_ec^2}$$ (17)

を得る。これをK系に変換する。この際にEq.(17)と同じようになると考えられるが、余分な項が含まれることが推測される。これを $\alpha k_B T/(m_e c^2)$とすると、

$$\frac{\Delta \epsilon}{\epsilon} =-\frac{\epsilon}{m_e c^2} + \frac{\alpha k_B T}{m_e c^2}$$ (18)

となる。ここで$\alpha$は適当な係数である。

今、K系でInverse Compton Scatteringが平衡状態、つまり光子と電子との間でエネルギーのやり取りが行われない下限を考える。 単純に考えるとこれはEq.(18)が零となる条件の様に聞こえるが、実際には様々なエネルギーを持つ光子が存在するので、Eq.(18)をエネルギー平均した上で零、とする必要がある。 下限を考えているので、電子は非相対論的であると仮定し、光子の分布関数はBose-Einstein分布から、近似で

$$f_{{\rm BE}} =\frac{1}{e^{\epsilon/(k_B T)}-1} \approx e^{-\epsilon/(k_B T)}$$ (19)

の様に書ける。これより $[\epsilon\sim \epsilon +d\epsilon]$間に存在する光子の数は

$$n = g \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} f(p)... ...on}\,; \quad \therefore\, \di{n}{\epsilon} = A \epsilon^2 e^{-\epsilon/(k_B T)}$$ (20)

と書けるので、

$$\left\langle \epsilon \right\rangle =\dfrac{\displaystyle \int \e... ...-x}\, dx}{\displaystyle \int_0^\infty x^2 e^{-x}\,dx} =12 \left(k_B T\right)^2$$

より、

$$\left\langle \Delta \epsilon \right\rangle =\frac{\alpha k_B T}{m... ... \right\rangle}{m_e c^2} =\frac{3 k_B T}{m_e c^2} \left( \alpha -4\right) k_B T$$ (21)

を得る。平衡状態であるためには $\left\langle \Delta \epsilon \right\rangle=0$で無ければならないので、結局 $\alpha = 4$となる。

以上の結果を踏まえると、非相対論的な場合Eq.(14),(15)となる。

著者: 茅根裕司 chinone_at_astr.tohoku.ac.jp