1-1

衝突前 $(\epsilon)$と衝突後 $(\epsilon_1)$の光子のエネルギー間の関係を求めよ。またこれを波長で書いた場合どうなるか。

1-1解答

四元運動量で考える。散乱後の値には添え字$1$を付けると

$$P^\mu_\gamma = \left(\, \dfrac{\epsilon}{c},\, \dfrac{\epsilon}{c},\,0,\,0\right)$$ (1)

$$P^\mu_{\gamma,1} = \left(\,\dfrac{\epsilon_1}{c},\,\dfrac{\epsilon_1}{c}\cos\theta,\,\dfrac{\epsilon_1}{c}\sin\theta,\,0\right)$$ (2)

$$P^\mu_{e} = \left(\,m_ec^2\,0,\,0,\,0\right)$$ (3)

$$P^\mu_{e,1} =\left(\, \gamma m_e c^2,\, \gamma m_e v\cos\theta_e, \, -\gamma m_e v\sin\theta_e,\,0\right)$$ (4)

と書ける。四元運動量保存より、

$$P^\mu_\gamma + P^\mu_e =P^\mu_{\gamma,1} + P^\mu_{e,1}\quad \Longrightarrow \quad P^\mu_{e,1} = P^\mu_\gamma + P^\mu_e -P^\mu_{\gamma,1}$$ (5)

と書けるの、この両辺の二乗を計算すると

$$P^\mu_{e,1}P_{e,1\mu} =-m_e^2c^2 =P^\mu_\gamma P_{\gamma \mu} + P^\mu_{e}P_{e \mu} + P^... ...\gamma P_{e \mu} -2 P^\mu_{e}P_{\gamma,1 \mu} -2 P^\mu_{\gamma}P_{\gamma,1 \mu}$$

$$=-m_e^2c^2 +2\left(-m_e \epsilon\right) -2\left(-m_e\epsilon_1\right) -2\frac{\epsilon\epsilon_1}{c^2}\left(-1+\cos\theta\right)$$

$$\therefore\, \epsilon_1 = \dfrac{\epsilon}{{\displaystyle 1+\dfrac{\epsilon}{m_ec^2} \left(1-\cos\theta\right)}}$$ (6)

を得る。 $\epsilon = h\nu = hc/\lambda$を用いて、波長に直すと、

$$\lambda_1 = \lambda + \lambda_{{\rm c}} \left(1-\cos\theta\right)... ...c}} = \frac{h}{m_ec} =2.4263 \times 10^{-10}\,[{\rm cm}] =0.024263 \,[{\rm\AA}]$$ (7)

となる。

著者: 茅根裕司 chinone_at_astr.tohoku.ac.jp