5-2

撥条の自然長を$h$として、解を

$$u_j = A \, \exp\left\{i\left(kjh -\omega t\right)\right\}$$ (21)

としてこの系を伝わる波が次のような分散関係式を満たすことを示せ。

$$\omega^2 =\frac{4\kappa}{m}\sin^2\left(\frac{kh}{2}\right) +\frac{g}{l}$$ (22)

5-2解答

Eq.(21)を運動方程式に代入すると

$$-\omega^2 m A \exp\left\{i\left(kjh-\omega t\right)\right\} = \kappa \Big[ A \exp\left\{i\left[k\left(j+1\right)h-\omega t\right]\right\}$$

$$\hspace{10mm} -2 A \exp\left\{i\left(kjh-\omega t\right)\right\} ... ...]\right\} \Big] -\frac{mg}{l}\,A\,\exp\left\{i\left(kjh-\omega t\right)\right\}$$

$$\therefore\, -m \omega^2 = \kappa \left\{ \exp\left(ikh\right) +\exp\left(-ikh\right) -2 \... ...h}}{2} -1\right) -\frac{mg}{l} = 2\kappa \left(\cos(hk) -1\right) -\frac{mg}{l}$$

$$= -4 \kappa \sin^2\frac{kh}{2} -\frac{mg}{l}$$

であるから、これを$\omega^2$について解くとEq.(22)を得る。 著者: 茅根裕司 chinone_at_astr.tohoku.ac.jp