3-1

粒子はx方向のみに運動するが、何故か説明せよ。

3-1解答

今、 ${\bf r}=(x,y,z),{\bf E}=(E_x,E_y,E_z)=(E(t,z),0,0),{\bf B}=(B_x,B_y,B_z)=(0,B(t,z),0)$ であるから、 運動方程式を考えると

$$m\frac{d^2 {x}}{dt^2} =q \left\{ E(t,z) +\frac{1}{c} \left( v_y B_z -v_z B_y\right) \ri... ...} =q \left\{ E_0 \cos(\omega t-kz) -\frac{v_z}{c}E_0 \cos(\omega t-kz) \right\}$$ (9)

$$=q\left(1-\frac{v_z}{c} \right) E_0 \cos(\omega t-kz)$$ (10)

$$m\frac{d^2 {y}}{dt^2} =q \left\{ 0+ \frac{1}{c} \left( v_z B_x -v_x B_z \right) \right\} =0$$ (11)

$$m\frac{d^2 {z}}{dt^2} =q \left\{ 0+ \frac{1}{c} \left( v_x B_y -v_y B_x \right) \right\} ={q E_0} \frac{v_x}{c} \cos(\omega t-kz)$$ (12)

となる。$v/c \ll 1$の条件より、z成分についてはLorentz力の項が無くなり、x成分に関しては

$$\frac{d^2x}{dt^2} = \frac{qE_0}{m} \cos(\omega t-kz)$$ (13)

となるので、粒子はx方向のみにしか運動しない。

著者: 茅根裕司 chinone_at_astr.tohoku.ac.jp