5-3-(a)

Lorentz力がz成分のみ持つことを示せ。 又、Lorentz力のz成分を求めよ。

5-3-(a)解答

Eq.(24),(25),(26)を見ると、 $v/c \ll 1$であるためにLorentz力の項の括弧の中身は$x,y$成分について

$$\quad 1-\frac{v_z}{c} =1-{\cal O}\left(\frac{v}{c}\right)\sim 1$$ x成分：

$$\quad -1+\frac{v_z}{c} =-1+{\cal O}\left(\frac{v}{c}\right)\sim -1$$ y成分：

電場の成分が卓越し磁場の寄与はなくなってしまう。 z成分を見てみると ${\cal O}(v/c)$の項のみが存在するため、 磁場によるLorentz力の影響が現れる。 このことから、磁場によるLorentz力がz成分のみ持つことが分かる。

z成分を書き下すと

$$F_z = \frac{qE_0}{c} \left(v_x \cos\omega t- v_y \sin\omega t\right) = \frac{qE_0}{c} \frac{qE_0}{\gamma} = \frac{q^2 E_0^2}{\gamma c}$$ (33)

となる。

著者: 茅根裕司 chinone_at_astr.tohoku.ac.jp