6-1

ダランベール方程式が

$$\frac{1}{R^2}\deL{R}R^2\deL{R}f(R,t)-\frac{1}{c^2}\deLL{t}f(R,t) =0$$ (10)

と書けることを示せ。

6-1解答

計量 $g^{\mu\nu}$でのラプラス演算子は

$$\Nabla^2 = \frac{1}{\sqrt{g}}\deL{\xi^\mu}\sqrt{g}\, g^{\mu\nu} \deL{\xi^\nu}\, , \quad \sqrt{g} = \sqrt{\det(g^{\mu\nu})}$$ (11)

と書ける。 球面極座標 $(R,\theta,\phi)$では

$$g^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{R^2} &... ... 0 & \dfrac{1}{R^2 \sin^2\theta} \end{pmatrix}, \quad \sqrt{g}= R^2 \sin\theta$$

であるので、

$$\Nabla^2 = \frac{1}{R^2\sin\theta} \left[ \deL{R}\left(R^2\sin^2\... ...}\deL{\theta} \sin\theta\deL{\theta} +\frac{1}{\sin^2\theta}\deLL{\phi} \right]$$ (12)

となる。$f\rt$は$(R,t)$のみの関数であるので、Eq.(9)とEq.(12)よりEq.(10)を得る。

著者: 茅根裕司 chinone_at_astr.tohoku.ac.jp