9 球面座標に於ける速度のrotation

ベクトル $\mathbf{\nabla}\times \vec{v}$ は、二階の反対称共変テンソル

$$\left(\mathrm{curl} \vec{v} \right)_{ij} = \frac{\partial \dot{x}_i}{\partial x^j} -\frac{\partial \dot{x}_j}{\partial x^i}$$ (72)

を用いて、

$$\left(\mathbf{\nabla}\times \vec{v}\right)^i \equiv -\frac{1}{2\s... ...} =\frac{1}{\sqrt{g}} \epsilon^{ijk} \frac{\partial \dot{x}_k}{\partial x^j}$$ (73)

で定義される。 $\left(\mathbf{\nabla}\times \vec{v}\right)^i$ は任意の座標変換に対して一階の反変テンソル（反変ベクトル）として振る舞う。

球面座標 $\left(r,\theta,\phi\right)=\left(x^1,x^2,x^3\right)$ について、定義に従って $\left(\mathbf{\nabla}\times \vec{v}\right)$ を計算する。 $\dot{x}_k \left(\dot{x}_1= v^r ,\dot{x}_2 = r v^\theta ,\dot{x}_3 = r \sin\theta v^\phi \right)$ に注意すると

$$\left(\mathbf{\nabla}\times \vec{v} \right)^r = \frac{1}{\sqrt{g}} \left( \epsilon^{123} \frac{\partial \dot{x}... ...left(\sin\theta v^\phi \right)- \frac{\partial v^\theta}{\partial \phi} \right]$$

$$\left(\mathbf{\nabla}\times \vec{v} \right)^\theta = \frac{1}{\sqrt{g}} \left( \epsilon^{231} \frac{\partial \dot{x}... ...l v^r}{\partial \phi} -\frac{1}{r} \frac{\partial (rv^\phi)}{\partial r}\right]$$

$$\left(\mathbf{\nabla}\times \vec{v} \right)^\phi = \frac{1}{\sqrt{g}} \left( \epsilon^{312} \frac{\partial \dot{x}... ...\partial (rv^\theta)}{\partial r} -\frac{\partial v^r}{\partial \theta} \right]$$

となる。また

$$\mathbf{\nabla}\times \vec{v} = \left(\mathbf{\nabla}\times \vec{... ...m_i \frac{\left(\mathbf{\nabla}\times \vec{v}\right)^i}{\sqrt{g^{ii}}} \bm{b}_i$$ (74)

とすると、

$$\mathbf{\nabla}\times \vec{v} = \left(\mathbf{\nabla}\times \vec{v}\right)^i \bm{a}_i =\sum_i \... ...theta} \left(\mathbf{\nabla}\times \vec{v}\right)^\phi \bm{b}_\phi \notag$$

$$=\frac{1}{r\sin\theta} \left[ \frac{\partial (\sin\theta v^\ph... ...theta)}{\partial r} -\frac{\partial v^r}{\partial \theta} \right] \bm{b}_\phi$$

であることが分かる。