8 relative tensor,pseudotensor(擬テンソル),tensor density(テンソル密度)

一般に、例えば二階のテンソルについて

$$\bar{T}_j^i = \frac{\partial \bar{x}^i}{\partial x^k} \frac{\partial x^l}{\partial \bar{x}^j} \tilde{J}^w T_l^k$$ (67)

なる変換則を満たすテンソルを relative tensor と呼ぶ。 特に $w=-1$ のとき擬テンソル(pseudotensor)、 $w=1$ のときテンソル密度(tensor density) と呼ぶ。 $\epsilon^{ijk}$ は三階の反変テンソル密度であり、 $\epsilon_{ijk}$ は三階の共変擬テンソルである。また

$$\bar{g}_{ij} = g_{ij} \frac{\partial x^k}{\partial \bar{x}^i}\fra... ...(\det \frac{\partial x^l}{\partial \bar{x}^j}\right) =J^{-2} g = \tilde{J}^2 g$$

であるから、 $\sqrt{g}$ について $w=1$ であり、 $\sqrt{g}$ はスカラー密度として振る舞う。

二つの反変ベクトル $a^i,b^i$ を用いて

$$c_i = \sqrt{g} \epsilon_{ijk} a^j b^k$$ (68)

を定義すれば $c_i$ は

$$\bar{c}_i = \sqrt{\bar{g}} \bar{\epsilon}_{ijk} \bar{a}^j \bar... ...} \epsilon_{plm} a^l b^m =\frac{\partial \bar{x}^p}{\partial \bar{x}^i} c_p$$

であるから、共変ベクトルとして振る舞う。 同様にすれば、二つの共変ベクトル $a_i,b_j$ を用いて

$$c^i =\frac{\epsilon^{ijk} a_j b_k}{\sqrt{g}}$$ (69)

を定義すれば $c^i$ は反変ベクトルとして振る舞うことが示せる。

二階の反対称共変テンソル $A_{ij} (A_{ij}=-A_{ji})$ について

$$p^i =\frac{1}{2} \epsilon^{ijk} A_{jk}$$ (70)

で定義されるベクトル $p^i$ は任意の座標変換に対して

$$\bar{p}^i = \frac{1}{2} \bar{\epsilon}^{ijk} \bar{A}_{jk} =\frac{1}{2}\frac... ... \epsilon_{pqr} A_{qr} =\frac{\partial \bar{x}^i}{\partial x^p} \tilde{J} p^p$$

が成り立つので、一階の反変テンソル密度（反変ベクトル密度）として振る舞うことが分かる。 また

$$p^i =\frac{1}{2\sqrt{g}} \epsilon^{ijk} A_{jk}$$ (71)

で定義されるベクトル $p^i$ は

$$\bar{p}^i = \frac{1}{2\sqrt{\bar{g}}} \bar{\epsilon}^{ijk} \bar{A}_{jk} =\f... ...tial x^p} \epsilon^{pqr} A_{qr} =\frac{\partial \bar{x}^i}{\partial x^p} p^p$$

であることから、一階の反変テンソル（反変ベクトル）として振る舞うことが分かる。