2 Fourier Spectrum

位置$\vr$に居る観測者が時刻$t$に観測する加速荷電粒子からの輻射場のフーリエスペクトルを求める。 これは以下の積分を実行すればよい：

$$\hat{\vE}(\vr,\omega) =\frac{1}{2\pi}\frac{q}{c}\int_{T_1}^{T_2} ... ...ght)\times \dot{\bm{\beta}}(t')\right\}}{R(t')\kappa^3(t')} e^{-i\omega t} dt .$$ (11)

ここで $R(t')=\left\vert \vr -\vr_0(t')\right\vert$は遅延時間 $t'=t-R(t')/c$に$\vr_0(t')$にいた荷電粒子と観測者との相対距離である。 又、$T_1<t<T_2$はスペクトルを得る為の観測が行われた期間である。 但しこの間に荷電粒子の加速度が有限の値を持つとした。

荷電粒子と観測者は十分離れている為、$R(t')$の時間内のでの変化は無視できるとし、 $R(t')=R={\rm Const}$とする。又、同様の理由で$\vn(t')$も時間に依存しないとする。 これらの近似を用いて積分変数を$t$から$t'$に変換すると、

$$\hat{\vE}(\vr,\omega) =\frac{q}{2\pi cR}e^{-i\omega \vn\cdot \vr/c}\int_{T_1-R(T_1')/c}... ...ght\}}{R(t')\kappa^2(t')} e^{-i\omega \left(t'-\vn\cdot \vr_0(t')/c\right)} dt'$$

$$=\frac{q}{2\pi cR}e^{-i\omega \vn\cdot \vr/c}\int_{T_1'}^{T_2'} \... ... \vr_0(t')/c\right)} dt' ; \quad \left[ T_i'= T_i -\dfrac{R}{c},\,i=1,2 \right]$$ (12)

を得る。被積分関数は

$$\vn\times \left\{ \left(\vn-\bm{\beta}(t')\right)\times \dot{\bm{\beta}}(t')\right\} = -\dot{\bm{\beta}}(t')+ \left(\vn\cdot \bm{\beta}(t')\right)\dot... ...eft(\vn \cdot \dot{\bm{\beta}}(t')\right)\left(\vn-\bm{\beta}(t')\right) \notag$$

$$\vn\times \left(\vn\times \bm{\beta}(t')\right) =-\bm{\beta}(t')+ \left( \vn \cdot \bm{\beta}(t')\right)\vn$$

であり、又、

$$\dI{t'}\left\{ \frac{\vn\times \left(\vn \times \bm{\beta}(t')\right)}{\kappa(t')} \right\} =\frac{ \vn\times \left(\vn \times \dot{\bm{\beta}}(t')\right)\ka... ...ft\{ \vn \times \left(\vn \times \bm{\beta}(t')\right)\right\} } {\kappa^2(t')}$$

$$= \frac{ \vn\times \left(\vn \times \dot{\bm{\beta}}(t')\right) \... ...ft\{ \vn \times \left(\vn \times \bm{\beta}(t')\right)\right\} } {\kappa^2(t')}$$

$$=\frac{ -\dot{\bm{\beta}}(t') +\left(\vn\cdot \dot{\bm{\beta}}(t'... ...(t') -\left(\vn\cdot \dot{\bm{\beta}}(t')\right)\bm{\beta}(t') } {\kappa^2(t')}$$

$$=\frac{-\dot{\bm{\beta}}(t')+\left(\vn\cdot \bm{\beta}(t')\right)... ...ft(\vn -\bm{\beta}(t')\right)\times \dot{\bm{\beta}}(t')\right\}}{\kappa^2(t')}$$

であるから、以下のように書ける：

$$\hat{\vE}(\vr,\omega) =\frac{q}{2\pi cR} e^{-i\omega \vn\cdot \vr/c} \int_{T_1'}^{T_2'}... ...)} {\kappa(t')} \right\}\,e^{-i\omega \left(t' -\vn\cdot \vr_0(t')/c\right)}dt'$$

$$= \frac{q}{2\pi c R}e^{-i\omega \vn \cdot \vr/c} \left[ \frac{ \v... ...\} \dI{t'}\left\{ e^{-i\omega \left(t' -\vn\cdot \vr_0(t')/c\right)}\right\}dt'$$

$$= \frac{q}{2\pi c R}e^{-i\omega \vn \cdot \vr/c} \left[ \frac{ \v... ...a(t')} e^{-i\omega \left( t' -\vn\cdot \vr_0(t')/c\right)}\right]_{T_1'}^{T_2'}$$

$$\hspace{20mm}-\frac{q}{2\pi c R}e^{-i\omega \vn \cdot \vr/c} \int... ...ht)} \dI{t'}\left\{ {-i\omega \left(t' -\vn\cdot \vr_0(t')/c\right)}\right\}dt'$$

$$= \frac{q}{2\pi c R}e^{-i\omega \vn\cdot \vr/c} \left[ \frac{ \vn... ...eta}(t')\right)e^{-i\omega \left(t'-\vn \cdot \vr_0(t')/c\right)} \right\}dt' .$$ (13)

以下の計算では、長時間平均を行うものとする。 つまり部分積分を行ったとき、積分の外に出た項の寄与は無視できるので、始めから無視することにする。よってEq.(13)は以下のように書ける：

$$\hat{\vE}(\vr,\omega) = \frac{iq\omega}{2\pi cR} e^{-i\omega \vn ... ...eta}(t')\right)e^{-i\omega \left(t'-\vn \cdot \vr_0(t')/c\right)} \right\}dt' .$$ (14)

著者: 茅根裕司 chinone_at_astr.tohoku.ac.jp