3 解

振動が球構造の場合を考える。 このとき一般に$g,c_s,N$は$r$の関数である。

Eq.(33)を成分で書き下すと

$$\omega^2 \rho_0 \xi_r = \del{p_1}{r} +\rho_1 g, \quad \omega^2 \r... ...\theta}, \quad \omega^2 \rho_0 \xi_\phi = \frac{1}{r\sin\theta} \del{p_1}{\phi}$$ (36)

となる。Eq.(33)のdivergenceをとり、Eq.(36)を用いると

$$\omega^2 \nabla \cdot \left(\rho_0 {\boldsymbol \xi}\right) = \na... ...a^2 p_1 + \frac{1}{r^2} \deL{r} \left( g r^2 \rho_1\right) + \omega^2 \rho_1 =0$$ (37)

を得る。更にEq.(36)を用いEq.(34)を整理すると、

$$\rho_1 = \frac{p_1}{c_s^2} +\frac{N^2}{g}\rho_0 \xi_r = \frac{p_1... ...frac{p_1}{c_s^2}+ \frac{N^2}{g\omega^2}\del{p_1}{r}+\frac{N^2}{\omega^2}\rho_1$$

$$\therefore\, \frac{\omega^2-N^2}{\ome... ...mega^2}{\omega^2-N^2} \frac{p_1}{c_s^2}+\frac{N^2}{(\omega^2-N^2)g}\del{p_1}{r}$$ (38)

となる。Eq.(37),(38)より、$p_1$についての偏微分方程式

$$\nabla^2 p_1 +\frac{\omega^4}{\omega^2-N^2}\frac{p_1}{c_s^2} + \f... ...\right) \left( \frac{1}{c_s^2} +\frac{N^2}{g\omega^2}\deL{r}\right)p_1\right]=0$$ (39)

が得られる。

今、球面調和関数を用い変数分離 $p_1=R(r){Y_l}^m(\theta,\phi)$とし、

$$\nabla^2 = \frac{1}{r^2}\deL{r}\left(r^2\deL{r}\right) + \frac{1}... ...eLL{\phi} \right] =\frac{1}{r^2} \left(\nabla^2_r+\nabla^2_{\theta,\phi}\right)$$ (40)

と書くと、Eq.(39)は

$$R(r) \nabla^2_{\theta,\phi} {Y_l}^m(\theta,\phi) +{Y_l}^m(\theta,\phi)\nabla^2_r R(r) +\lambda(r)R(r){Y_l}^m(\theta,\phi) +X(r)=0$$

となり、両辺を $R(r){Y_l}^m(\theta,\phi)$で割り、整理すると、

$$\frac{1}{{Y_l}^m(\theta,\phi)}\nabla^2_{\theta,\phi}{Y_l}^m(\thet... ...R(r)} \nabla^2_r R(r) + \tilde{\lambda}(r)+\tilde{X}(r)\right] ={\rm Const}=-C$$

$$\therefore\quad \nabla^2_{\theta,\phi} {Y_l}^m(\theta,\phi) + C {Y_l}^m(\theta,\phi) =0$$ (41)

$$\nabla^2_{r} R(r) - C \left[ \tilde{\lambda}(r)+\tilde{R}(r)\right] =0$$ (42)

となる。角度に依存する微分方程式は確かにヘルムホルツ方程式である。

$p_1$の角度依存成分が球面調和関数に比例するので、Eq.(36)より、

$$\rho_1\propto \rho_1(\theta,\phi)\propto {Y_l}^m(\theta,\phi),\quad \xi_r \propto \xi_r(\theta,\phi)\propto {Y_l}^m(\theta,\phi)$$ (43)

また

$$\xi_\theta\propto \xi_\theta(\theta,\phi) \propto \del{{Y_l}^m(\t... ...(l+m) {Y_{l-1}}^m(\theta,\phi) \csc\theta+C_2 l {Y_l}^m(\theta,\phi) \cot\theta$$ (44)

$$\xi_\phi \propto \xi_\phi(\theta,\phi)\propto \frac{1}{\sin\theta}\del{{Y_l}^m(\theta,\phi)}{\phi} =\frac{im}{\sin\theta} {Y_l}^m(\theta,\phi)$$ (45)

となることが分かる。