1 四元速度ベクトル

$d\tau^2 \equiv -ds^2$ によって固有時間 $\tau$ を定義すると、 これはローレンツ変換に対して不変なスカラー関数となる。 これは又慣性系 $O$ とそれに対して速度 $\vv$ で等速直線運動している慣性系 $\overline{O}$ とを考えたとき、 慣性系 $\overline{O}$ で静止している観測者の時間間隔 $d\bar{x}^0$ と、 それを慣性系 $O$ に静止している観測者が測った時間間隔 $dx^0$ とが

$$d\tau^2 = -ds^2 = (dx^0)^2 - \left( d\vx^2 \right) =(dx^0)^2 \lef... ...\quad \Longrightarrow \quad d\tau = \sqrt{1-\vv^2} dx^0 =\frac{1}{\gamma} dx^0$$ (22)

で結びついている。 光よりも遅く運動する粒子については

$$-ds^2 = d\tau^2 >0$$

が成り立つ。

物理法則を任意の慣性系で同じ形式で表すために、様々な物理量をローレンツ変換に対して四元ベクトル、またはテンソルとして振る舞うように定義する必要がある。 例えば、 ある慣性系 $O$ で観測したとき、 粒子が $\vu = dx^i/dx^0$ の三次元速度で運動しているとき、 その四元速度を

$$U^\alpha \equiv \di{x^\alpha}{\tau} =\frac{1}{\sqrt{1-\vu^2}} \di... ...gin{pmatrix}c \vu \end{pmatrix} , \quad \gamma_u = \frac{1}{\sqrt{1-\vu^2}}$$ (23)

とすれば、 固有時間 $d\tau$ はスカラーであり、 $dx^\alpha$ は反変成分として振る舞う四元ベクトルであるから、 $U^\alpha$ も四元ベクトルの反変成分として振る舞うことになる。 よってこれを四元速度ベクトルの定義とする。

今の場合、四元速度ベクトル $U^\alpha$ のローレンツ変換は

$$\begin{pmatrix} \overline{U}^0 \\ \overline{U}^1 \\ \overline... ...& 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} U^0 \\ U^1 \\ U^2 \\ U^3 \end{pmatrix}$$

と書け、また定義から

$$U^\alpha = \gamma_u \begin{pmatrix} 1 \\ \vu \end{pmatrix},\q... ...e{U}^\alpha = \gamma_{\bar{u}} \begin{pmatrix} 1 \\ \bar{\vu} \end{pmatrix}$$

である。 これより、

$$\overline{U}^0 = \gamma_{\bar{u}} = \gamma_u U^0 -\g... ...ad \therefore \frac{\gamma_u \gamma_v }{\gamma_{\bar{u}}} = \frac{1}{1-vu^1}$$

$$\overline{U}^1 = \gamma_{\bar{u}} \ba... ...u + \gamma_v \gamma_u u^1 \qquad \therefore \bar{u}^1 = \frac{u^1-v}{1-vu^1}$$

$$\overline{U}^2 = \gamma_{\bar{u}}\bar... ...a_u u^2 \qquad \therefore \bar{u}^2 = \frac{1}{\gamma_v} \frac{u^2}{1-vu^1}$$

$$\overline{U}^3 = \gamma_{\bar{u}}\bar... ...a_u u^3 \qquad \therefore \bar{u}^3 = \frac{1}{\gamma_v} \frac{u^3}{1-vu^1}$$

を得るが、これはEq.(21) と一致している。