2 四元モーメンタムと全エネルギー

四元モーメンタム（四元運動量） $p^\alpha$ を

$$p^\alpha \equiv m U^\alpha$$ (24)

で定義する。 ここで $m$ は粒子の静止質量である。 これを具体的に書けば

$$p^\alpha = m U^\alpha = m\gamma_u \left(1,\vu\right) \equiv \left... ... m \gamma_u \vu \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}E/c {\bf p} \end{pmatrix}$$ (25)

と書ける。ここで $\vp,\vu$ 等のベクトルは空間成分を表すものとする。 ここで $E$ はポテンシャルを除く粒子の全エネルギーであり、

$$E = m\gamma_u c^2 = Mc^2\qquad\hbox{$m$：静止質量}%%\quad\hbox{$M=m\gamma_u$}$$

なる関係が成り立つことが分かる。 この関係をエネルギーと質量の等価性と呼ぶ。

$\vu^2 \ll 1$ とすれば

$$E \cong mc^2 + \frac{1}{2}m\vu^2$$

であるから、 $E$ は定数項 $mc^2$ を除いて、 ニュートン力学に於ける粒子の運動エネルギーに近づく。 このことから、 相対論に於ける運動エネルギー $T(\vu)$ は全エネルギーから静止エネルギーを引いたものとして、

$$T(\vu) = E(\vu) - mc^2 =m\gamma_u c^2 -mc^2 =m c^2 \left(\gamma_u -1\right)$$

と定義される。

固有時間 $d\tau$ はEq.(1)より

$$ds^2 = dx^\alpha dx_\alpha = -d\tau^2$$

であるから、この両辺を $d\tau^2$ で割ると

$$\di{x^\alpha}{\tau}\di{x_\alpha}{\tau}= U^\alpha U_\alpha = \eta_{\alpha}U^\alpha U^\beta =-1$$

となるので、

$$p^\alpha p_\alpha = m^2 U^\alpha U_\alpha = -m^2$$

を得る。 また $E,\vp$ の定義から

$$E^2 = \left(\gamma_u m\right)^2 = \gamma_u^2 m^2 ,\qquad \left\ve... ...p\right\vert^2 = \left\vert \gamma_u m \vu\right\vert^2 = \gamma_u^2 m^2 \vu^2$$

であるから、

$$\left\vert\vp\right\vert^2 + m^2 = m^2 \left( \gamma_u^2 \vu^2 + 1 \right) = m^2 \left( \frac{\vu^2}{1-\vu^2} + 1\right) =\gamma_u^2 m^2$$

となり、

$$E^2 = m^2 + \left\vert\vp\right\vert^2 \quad \hbox{$c$ をあからさまに書いて、} \quad E^2 = m^2 c^4 + \left\vert\vp\right\vert^2c^2$$ (26)

であることが分かる。