1 散乱断面積、微分散乱断面積のローレンツ変換

Eq.(54) より $\tan\theta$ を二乗すると

$$\tan^2\theta = \frac{1}{\gamma^2} \frac{\sin^2\bar{\theta}}{\left(\cos\bar{\theta}+{\beta}/{\bar{u}}\right)^2}$$

であるから、これを整理すると

$$\left\{\sin^2\bar{\theta} +\gamma^2 \left(\cos\bar{\theta} +\beta... ...{\sin^2\bar{\theta} +\gamma^2 \left(\cos\bar{\theta} +\beta/\bar{u}\right)^2} }$$ (55)

を得る。 $d\sigma =d\bar{\sigma}$ 、つまり

$$\di{\sigma}{\Omega}d\Omega = \di{\bar{\sigma}}{\overline{\Omega}} d\overline{\Omega}$$

とし、 $d\bar{\phi} = d\phi$ の場合を考えると、微分散乱断面積は

$$\left(\di{\sigma}{\Omega}\right)_{\rm Lab} d\Omega = \left(\di{\s... ...erline{\Omega}}\right)_{\overline{O}} \sin\bar{\theta} d\bar{\theta}d\bar{\phi}$$

$$\Longrightarrow \quad \left(\di{\sigma}{\Omega}\right)_{\rm Lab}... ...t)_{\overline{O}} \frac{\sin\bar{\theta}}{\sin\theta}\di{\bar{\theta}}{\theta}$$

と書ける。Eq.(55) の $\cos\theta$ を $\theta$ で微分すると

$$\dI{\theta}(\cos\theta) = -\sin\theta = \dI{\bar{\theta}}\di{\bar{\theta}}{\theta}$$

$$= \frac{ -\gamma \sin\bar{\theta} \sqrt{\sin^2\bar{\theta} +\gamm... ...mma^2 \left(\cos\bar{\theta} + \beta/\bar{u}\right)^2}\di{\bar{\theta}}{\theta}$$

$$= -\sin\bar{\theta} \frac{\gamma \left(1+\cos\bar{\theta} \be... ...os\bar{\theta} +\beta/\bar{u}\right)^2\right\}^{3/2}} \di{\bar{\theta}}{\theta}$$

となることから、

$$\frac{\sin\bar{\theta}}{\sin\theta}\di{\bar{\theta}}{\theta} = \f... ...ht)^2\right\}^{3/2}}{\gamma \left(1+\cos\bar{\theta} \beta/\bar{u}\right)}$$

を得る。よって微分散乱断面積は

$$\left(\di{\sigma}{\Omega}\right)_{\rm Lab} = \left(\di{\bar{\sigm... ...ght)^2\right\}^{3/2}}{\gamma \left(1+\cos\bar{\theta} \beta/\bar{u}\right)}$$ (56)

となる。 非相対論の極限では $\gamma\to 1$ であるから、Eq.(56) は

$$\left(\di{\sigma}{\Omega}\right)_{\rm Lab} = \left(\di{\bar{\sigm... ...{u}\right)^2\right\}^{3/2}}{ \left(1+\cos\bar{\theta} \beta/\bar{u}\right)}$$ (57)

である。