2 粒子の軌道

粒子の軌道を考える。但し、円運動の中心が原点になるように座標を選ぶものとする。 速度をそれぞれの成分について、時間$t$で不定積分する。 まず、$z$成分を考えると、軌道の中心が原点であるようにすると、

$$z(t) = \mathrm{Const} = 0$$ (10)

である。$z(t)$が定数であることが分かったので、$x,y$成分についての積分は簡略化され、

$$x(t) = \int \! v_x(t) dt = \frac{qE_0}{\gamma \omega} \sin\omega t +C_1$$

$$y(t) = \int \! v_y(t) dt = \frac{qE_0}{\gamma \omega} \cos\omega t +C_2$$

となる。

これは $x,y$平面上で円を描く軌道であるが、 中心が原点になるようにすると $C_1=C_2 =0$となり、結局

$$x(t) = \frac{qE_0}{\gamma \omega} \sin\omega t$$ (11)

$$y(t) = \frac{qE_0}{\gamma \omega} \cos\omega t$$ (12)

を得る。$x,y$について整理すると

$$x^2 + y^2 = \left(\frac{qE_0}{\gamma \omega}\right)^2$$

となるので、粒子が$x,y$平面上で半径 $qE_0/\gamma \omega$の時計回りの円運動をすることが分かる。