2 Newton 法：弐変数の場合

二変数 $x,y$ についての連立方程式

$$f(x,y)=0 ,\qquad g(x,y)=0$$

の根を求めることを考える。 壱変数の場合と同じように考えると

$$f(x_0 +\delta x,y_0+\delta y) \cong f(x_0,y_0) +\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\bigg\vert _{0}\delta x +\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\bigg\vert _{0}\delta y=0$$

$$g(x_0 +\delta x,y_0+\delta y) \cong g(x_0,y_0) +\frac{\partial g(x,y)}{\partial x}\bigg\vert _{0}\delta x +\frac{\partial g(x,y)}{\partial y}\bigg\vert _{0}\delta y=0$$

として

$$\begin{pmatrix}{f_x}_0 & {f_y}_0 \\ {g_x}_0 & {g_y}_0 \end{pmat... ...elta x \\ \delta y \end{pmatrix}= - \begin{pmatrix}f_0 \\ g_0 \end{pmatrix}$$

が得られる。ここで

$${f_x}_0 =\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\bigg\vert _{0}=\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\bigg\vert _{x=x_0,y=y_0}$$

などである。これから逆行列を使って

$$\begin{pmatrix}\delta x\\ \delta y \end{pmatrix}=-\begin{pmatri... ... {g_x}_0 & {g_y}_0 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix}f_0 \\ g_0 \end{pmatrix}$$

$$\Longrightarrow\quad \delta x = \frac{ {g_y}_0 f_0 -{f_y}_0 g_0 }... ...lta y = \frac{ -{g_x}_0 f_0 +{f_x}_0 g_0 }{ {f_y}_0 {g_x}_0 -{f_x}_0 {g_y}_0 }$$

であるから、これらを使って

$$x_0 +\delta x \to x_0 \qquad y_0 +\delta y \to y_0$$

として、上の手順を繰り返し、適当に小さな数 $\epsilon_1$ と $\epsilon_2$ について

$$\left\vert f(x_0,y_0) \right\vert < \epsilon_1 \quad \left\vert g(x_0,y_0) \right\vert < \epsilon_2$$

または

$$\left\vert f(x_0,y_0) \right\vert^2+ \left\vert g(x_0,y_0) \right\vert^2 < \epsilon$$

が成立するような $(x_0,y_0)$ が求められれば、 それを根（の一つ）であると考える。