1 Newton 法：壱変数の場合

超越方程式は解析的に解くことのできない方程式のことを指す。 Newton 法は超越方程式の根を数値的に求める方法の一つである。 例えば方程式 $g(x)=0$ について、 $x=x^0$ の近傍にある根 $\bar{x}$ を求めることを考える。 $x^0$ が方程式の根 $\bar{x}$ の十分近傍にあるとすれば、近似的に

$$0=g(\bar{x}) =g\left( x^0 + \bar{x} -x^0\right) \cong g(x^0) +\frac{dg(x)}{dx}\bigg\vert _{x=x^0}(\bar{x}-x^0)$$

とすることができる。Newton 法では、この $x=x^0$ の近傍にある根 $\bar{x}$ を、

$$x^1 \equiv x^0 -\frac{g(x^0)}{\dfrac{dg(x)}{dx}\bigg\vert _{x=x^0}}$$

として近似的に求める。しかしながら、 このようにして求められた $\bar{x} = x^1$ は十分な精度で $g(\bar{x}) = 0$ を満たすとは限らないので、 上の $x^0$ を $x^1$ で置き換えて同じ手続きを繰り返すことを考える。 すなわち、この手続き

$$x^{i+1} \equiv x^i -\frac{g(x^i)}{\dfrac{dg(x)}{dx}\bigg\vert _{x=x^i}}$$

を何度か繰り返して、 ある十分に小さな数 $\epsilon$ について

$$\left\vert g\left(x^{i+1}\right)\right\vert< \epsilon$$

を満たす $x^{i+1}$ をもとめ、 それを求める根 $\bar{x}$ であると考える。 もし上のように関数 $g(x)$ に壱のオーダーの定数が含まれているときは、 例えば $\epsilon \sim 10^{-6}$ 程度の小さな数で十分精度よく根が求められることが多い。 一般に、このようにして根が上手く求められるか否かは、上手く推定値 $x^0$ を選べるか否かにかかっている。