1 ボーズ粒子

まずボーズ粒子の場合を考える。 Eq.(1) で $C_j,N_j$ は壱に比べて十分大きいとしているので、 分子分母にある $-1$ を無視できる。 よって、この式の自然対数をとりスターリングの公式

$$\log M! = M \log M -M$$

を適用すると、

$$\log W_{\rm b} = \sum_j \left\{ \left( C_j + N_j\right) \left[ \log\left(C_j + N... ...-1\right] -N_j \left( \log N_j -1\right) - C_j \left(\log C_j -1\right)\right\}$$

$$= \sum_j \left[ \left(C_j + N_j\right) \log \left(C_j +N_j\right) - N_j \log N_j - C_j \log C_j\right]$$ (3)

となる。 $N_j \to N_j + \delta N_j$ の変分を考えると、

$$\delta \Big[ \left(C_j + N_j\right) \log \left(C_j +N_j\right) - N_j \log N_j - C_j \log C_j \Big]$$

$$= \left[ \left(C_j + \left\{ N_j+\delta N_j \right\} \right) \log... ...+\delta N_j \right\} \log \left\{ N_j+\delta N_j \right\} - C_j \log C_j\right]$$

$$\qquad -\left[ \left(C_j + N_j\right) \log \left(C_j +N_j\right) - N_j \log N_j - C_j \log C_j\right]$$

$$= \left[ \left(C_j + \left\{ N_j+\delta N_j \right\} \right) \log... ...\left[ \left(C_j + N_j\right) \log \left(C_j +N_j\right) - N_j \log N_j \right]$$

と書けるが、$x$ が十分小さいときに成り立つ、 $\log (1+ x) \cong x$ なる関係式を使うと、 $\delta N_j$ の二次以上を無視して、

$$\left(C_j + \left\{ N_j+\delta N_j \right\} \right) \log \left(C_j + \left\{ N_j+\delta N_j \right\} \right) = \left( \left\{C_j + N_j \right\} +\delta N_j\right) \log\left[ \left( C_j+N_j\right) \left(1+\frac{\delta N_j}{C_j+N_j}\right)\right]$$

$$=\left(C_j +N_j\right)\log\left(C_j+N_j\right) +\delta N_j \log\left(C_j +N_j\right) +\delta N_j$$

$$\left(N_j +\delta N_j\right)\log \left(N_j +\delta N_j\right) =\left(N_j +\delta N_j\right) \log \left[ N_j \left( 1+ \frac{\delta N_j}{N_j}\right)\right] =N_j \log N_j + \delta N_j \log N_j +\delta N_j$$

となるので、結局

$$\delta \left[ \left(C_j + N_j\right) \log \left(C_j +N_j\right) - N_j \log N_j - C_j \log C_j\right] = \delta N_j \log \left( C_j + N_j\right) + \delta N_j -\delta N_j \log N_j -\delta N_j$$

$$=\left[ \log \left( C_j + N_j\right) -\log N_j\right]\delta N_j$$

を得る。 よって

$$\delta \left( \log W_{\rm b}\right) =\sum_j \left[ \log \left( C_j + N_j\right) -\log N_j\right]\delta N_j$$ (4)

が得られる。 $N_j$ の変分をとる際、 $N,E$ は一定であるので、

$$\sum_j \delta N_j =0$$ (5)

$$\sum_j \vepsilon_j \delta N_j =0$$ (6)

の条件が成り立つ。 エントロピーが極大をとる条件は、Eq.(4)が零でなければならないので、 ラグランジュの未定乗数法により、 $\alpha,\beta$ を任意の定数として、 ${\rm {Eq.(\ref{7.16})}} -\alpha \times {\rm {Eq.(\ref{alpha})}}-\beta\times {\rm {Eq.(\ref{beta})}}$ を作ると、

$$\sum_j \left[ \log \left( C_j + N_j\right) -\log N_j -\alpha -\beta \vepsilon_j \right]\delta N_j =0$$

が得られ、 $\delta N_j$ の係数を零とおいて

$$\log \frac{C_j +N_j}{N_j} = \alpha + \... ... \therefore \frac{C_j}{N_j} = \exp\left[ \alpha +\beta \vepsilon_j\right] -1$$ (7)

となる。 即ち、

$$\frac{N_j}{C_j} = \frac{1}{\exp\left[ \alpha +\beta \vepsilon_j\right] -1 }$$ (8)

であることが分かる。