1 RC回路

図 1: RC回路

図壱のような RC回路を考える。 $v(t)$が入力、$V(t)$が出力である。 外部から電圧がかかっていない場合に回路を一周すると、電圧降下は

$$+V_C+V_R =0 ,\quad V_C=V(t)$$

であるから $q(t)=CV_C, V_R = I(t) R$より、微分方程式は

$$\frac{dV(t)}{dt}+\frac{1}{RC} V(t) =0$$ (1)

と書ける。 この同次微分方程式の解はすぐ求まり

$$V(t)=A \exp\left[-\frac{t}{RC}\right]=A e^{-t/\tau},\qquad A=\mathrm{Const},\tau=RC$$

である。ここで$\tau$は時定数(time constant)といい、 系の典型的な反応時間(typical response time scale)を表す

今外部からコンデンサーの両端に $v(t)= v_0 \delta(t)$というパルス電圧（入力信号）をかける（入力信号を何故パルスにするかについては後述する）。 これより微分方程式Eq.(1)は次のような非同次方程式になる。

$$\frac{dV(t)}{dt}+\frac{1}{\tau} V(t) =\frac{v_0}{\tau} \delta(t)$$ (2)

同次方程式の解は既に得られているので、この解を元に定数変化法 $A \to A(t)$を用いることで解を求める。 実際に代入すると、

$$\dot{A}(t) =\frac{v_0}{\tau} \delta(t) e^{t/\tau}$$

$$\therefore A(t) = \frac{v_0}{RC}\int... ...{t} e^{t'/\tau} \delta(t') dt' = \frac{v_0}{\tau} \theta(t) +C,\qquad\theta(t)$$   ：単位階段関数$$,\quad C=\mathrm{Const}$$

となる。コンデンサーは最初帯電していなかったと考えると$C=0$であるから、電圧の時間変化は

$$V(t)= \frac{v_0}{\tau}\theta(t) e^{-t/\tau}$$ (3)

となる。このことから、一瞬に起きたパルス入力に対して、出力は$\tau$程度の時間を掛けてゆっくりと減少していくことが分かる。