2 電圧のFourier変換

Eq.(3)で与えられた出力電圧$V(t)$についてFourier変換を行うと、

$$\hat{V}(\omega) ={\cal F}\left[V(t)\right] =\int_{-\infty}^{+\infty} V(t) e^{-i\o... ...t_{-\infty}^{+\infty} \theta(t) \exp\left[-\frac{t}{\tau} -i\omega t \right] dt$$

$$= \frac{v_0}{\tau} \int_{0}^{+\infty} \exp\left[-\left(\frac{1}{\... ... \exp\left\{-\left(\frac{1}{\tau} +i\omega\right)t\right\}\right]_{0}^{+\infty}$$

$$=\frac{v_0}{\tau} \frac{1}{ {1}/{ \tau } +i\omega }$$

の様に、出力電圧のスペクトルを得る。

図: $\left\vert\hat{V}(\omega)\right\vert$：振幅

振幅として絶対値を計算すると、

$$\left\vert \hat{V}(\omega)\right\vert^2 = \frac{v_0^2}{\tau^2} \frac{1}{{1}/{ \tau } +i\omega} \frac{1}{ {1}/{ \tau } -i\omega } = \frac{v_0^2}{\tau^2} \frac{1}{{1}/{ \tau^2 } +\omega^2}$$

$$= \frac{{v_0^2}}{ 1 +\tau^2 \omega^2 }$$

$$\therefore \hat{V}(\omega) = \frac{v... ...t{\dfrac{1}{ \tau^2 } +\omega^2 }} = \frac{{v_0} }{\sqrt{ 1 +\tau^2 \omega^2} }$$ (4)

となり、また位相は

$$\phi = \arg \hat{V}(\omega) = \tan^{-1}\tau\omega$$ (5)

となる。