4 量子統計

気体や流体を多数の同種粒子の集合と考え、 それを量子力学的な多体問題として取り扱うとき、 粒子のもつスピンによって、 粒子の従う統計が異なることが知られている。 電子や陽子のようにスピンが $1/2$ であるような半整数スピン粒子は、 Fermi-Dirac 統計に従い、 ヘリウム原子核や光子のように、0 や $1$ と整数スピンを持つ粒子は Bose-Einstein 統計に従うことが知られている。 Fermi-Dirac 統計に従う粒子（フェルミ粒子）については、 パウリの排他原理より、 ある量子状態 $j$ を同時に占めることができる粒子数は 0 か $1$ に限られる。 Bose-Einstein 統計に従う粒子（ボーズ粒子）については、 量子状態 $j$ を同時に占めることができる粒子数は $0,1,2,3,\dots$ と制限がない。 今、絶対温度 $T$ の熱浴と熱平衡状態にある体積 $V$ の気体の系を考える。 熱浴と系との間には粒子の行き来もあるものとして、 粒子の化学ポテンシャルを $\mu$ と書く。 このとき $n$ 個の同種粒子が量子状態 $j$ を占める確率は、Gibbs 因子

$$P_j(n) = A \exp\left[-\beta\left(\epsilon_j-\mu\right)n\right]$$ (9)

で与えられることが知られている。 ここで、$A$ は規格化定数であり、 $\epsilon_j$ は量子状態 $j$ のエネルギーレベル、そして $\beta=1/kT$ である。