1 Eq.(13)で表される関数列

図: $-\pi/2 < x < \pi/2 \quad n=15,10,20$

図: $-\pi/100 < x < \pi/100\quad n=100,1000,10000$

$n$の値が大きくなるにつれ、振動の波長が短くなり、振動が激しくなる。また$x=0$での値が大きくなっていくのが分かる。 更に$n$の値を大きくしていくと、$x=0$での値が支配的になる。

次にEq.(13)を微分したものをグラフにする。

$$\varphi _n'(x) = \frac{nx \cos nx -\sin nx}{\pi x^2}$$

$$\varphi _n''(x) = \frac{-2nx \cos nx +(2-n^2 x^2)\sin nx}{\pi x^3}$$

$$\varphi _n'''(x) = \frac{nx (6-n^2x^2)\cos nx + 3(n^2 x^2 -2)\sin nx}{\pi x^4}$$

$$\varphi _n''''(x) = \frac{4nx (n^2 x^2 -6)\cos nx +(24-12n^2x^2 + n^4 x^4)\sin nx}{\pi x^5}$$

$$\vdots \qquad\vdots$$

図 3: 一階微分$(n=10000)$

図 4: 二階微分$(n=10000)$

図 5: 三階微分$(n=10000)$

図 6: 四階微分$(n=10000)$

微分をする毎にピークとなる箇所が一つずつ増えていくのが分かる（ピークとなる箇所は微分の回数プラス壱個）。 しかしピークの数が大きくなるにつれ（微分の階数が大きくなるにつれ）、まわりの余分な振幅が邪魔をして、そのピークが見えづらくなってくる。