2 相対論的ドップラー効果

$\eta_{\alpha \beta} k^\alpha k^\beta$ を計算すると、

$$\eta_{\alpha \beta}k^\alpha k^\beta = \eta_{00}k^0 k^0 + \eta_{11}k^1 k^1 + \eta_{33}k^2 k^2 + \eta_{... ...rt^2 =0={\rm Const.}\quad \because \omega^2 = c^2 \left\vert\vk\right\vert^2$$ (6)

を満たしていることことが分かる。 $\theta$ を波数ベクトルと $x$ 軸とが成す角であるとすると、 $\omega/c = \left\vert\vk\right\vert$ なので、

$$k^1=\frac{\omega}{c} \cos\theta, \quad k'^1=\frac{\omega'}{c} \cos\theta'$$

と書ける。 位相はローレンツ変換の前後で変化しないので、Eq.(2)、Eq.(3) より、

$$\vk\cdot \vx -\omega t = k^1 x^1 + k^2 x^2 + k^3 x^3 -\omega t =\gamma \left( k'^1 + \beta k'^0 \right) x^1 +k^2 x^2 + k^3 x^3 - \gamma c \left( k'^0 +\beta k'^1\right) t$$

$$\vk'\cdot \vx' -\omega' t' = k'^1 x'^1 + k'^2 x'^2 + k'^3 x'^3 -\omega' t' =\gamma \left( k^... ... \right) x'^1 +k'^2 x'^2 + k'^3 x'^3 - \gamma c \left( k^0 -\beta k^1\right) t'$$

と書ける。それぞれの式の最左辺と最右辺を比較すると、

$$\omega = \gamma c \left( k'^0 +\beta k'^1\right) = \gamma c \left( \frac... ...omega'}{c} \cos\theta'\right) = \gamma \omega' \left(1+\beta \cos\theta'\right)$$ (7)

$$\omega' = \gamma c \left( k^0 -\beta k^1\right) = \gamma c \left( \frac{\... ...ac{\omega}{c} \cos\theta\right) = \gamma \omega \left(1-\beta \cos\theta\right)$$ (8)

となり、 これは相対論的ドップラー効果を表している。