6 非相対論的な場合

粒子の速度が非相対論的な場合を考える。 $\beta \ll 1$が成り立つためには、 $\dot{\beta}\Delta t < {\cal O}(\beta)$でなければならない。 ここで$\Delta t$は系の特徴的な時間スケールであり、 例えば輻射の周期 $\Delta t \sim 1/\nu$等である。 輻射場を$\beta$の一次までの近似で表すと、

$$\vE_{{\rm rad}} =\frac{q}{c^2}\left[ \frac{\vn\times \left( \vn\times \dot{{\bf u}}\right)}{R} \right]$$ (38)

となる。$\vn(t')$と $\dot{{\bf u}}(t')$とが成す角を$\Theta$とすると、

$$E_{{\rm rad}}= \left\vert\vE_{{\rm rad}}\right\vert =\left[ \frac{q\dot{u}}{ Rc^2}\sin\Theta \right]$$ (39)

を得る。これはLamorの公式である。

図 5: 非相対論的運動をする荷電粒子の作る電場

前と同じ様に物理的な考察による導出を考える。前回同様に考えると電気力線の分布は図の様になる。 違いは、非相対論的運動であるから、$ct$の球面外側の電気力線が点Pを中心として等方的になることである。 球殻状の領域での電場の動経方向成分を$E_r$とすると、これは速度場なので

$$E_r = E_{{\rm vel}} = \frac{q}{R^2}=\frac{q}{(ct)^2}$$

と書ける。 図から、

$$\frac{E_t}{E_r}= \frac{ut \sin\Theta}{c\Delta}$$

であるから、$E_t$は、

$$E_{{\rm rad}} =E_t = \frac{q\dot{u}}{c^2 R} \sin\Theta$$ (40)

となり、Eq.(39)と一致する。 ここで $\dot{u}=u/\Delta t,\,R=ct$の置き換えを行った。

著者: 茅根裕司 chinone_at_astr.tohoku.ac.jp