3 空間微分

$$\Nabla_{\vr_0}f \equiv \left.\del{f}{\vr}\right\vert _{\vr_0}$$ (15)

$$\Nabla_{\vr_0}R(t')= \vn(t')$$ (16)

$$\Nabla_{\vr_0}\left(\vn(t')\cdot\bm{\beta}(t')\right)= -\frac{1}{... ...-\frac{1}{c}\deL{t'} \left( \Nabla_{\vr_0}R(t')\right)=-\frac{\dot{\vn}(t')}{c}$$ (17)

$$\Nabla_{\vr_0}\kappa(t')= \Nabla_{\vr_0}\left[ 1-\left(\vn(t')\cd... ...} =\frac{ \left(\vn(t')\cdot\bm{\beta}(t')\right)\vn(t')-\bm{\beta}(t')}{R(t')}$$ (18)

$$\Nabla_{\vr_0}\times \bm{\beta}(t')= -\frac{1}{c} \Nabla_{\vr_0}\... ... R}}(t')= -\frac{1}{c}\deL{t'}\left( \Nabla_{\vr_0}\times {\bf R}(t')\right) =0$$ (19)

$\Nabla$は事象Aに居る観測者と同時刻$t$で微小距離$d\vr$離れた事象Cに居る観測者でそれぞれ観測した電磁ポテンシャルの勾配を求める演算である。 荷電粒子が運動していない場合 $\Nabla= \Nabla_{\vr_0}$であるが、速度 $\dot{\vr}_0(t')$で運動している場合、$\Nabla$に新たな項が加わり、

$$\Nabla = \Nabla_{\vr_0(t')={\rm Const}} + \Nabla_{\vr_0(t')\ne{\rm Const}} = \Nabla_{\vr_0}+ \Nabla_{\vr_0(t')\ne{\rm Const}}$$ (20)

となる。後者について時空図をもとに考える。 ここでも簡単の為に空間を一次元とする。

図 3: 観測者の空間微分

事象Cで観測される電磁ポテンシャルは事象C'に居た荷電粒子によって生成されたものである。 事象A,Cで観測が行われる時刻は同じ$t$であるが、 それぞれ観測される電磁ポテンシャルが生成された時刻、場所は異なることが分かる。 事象Cの観測者から事象C'の粒子までの距離と、 事象Aの観測者から事象A'の粒子までの距離の差は、 $dt'$間に粒子が運動により移動した分と、 CがAより$d\vr$だけ離れたことによる効果の足し合わせである。 従って、

$$\left\vert \left( \vr + d\vr \right) -\vr_0(t'+dt')\right\vert -... ...dot\vn(t')dt' =d\vr \cdot \vn(t')- c\left(\vn(t')\cdot\bm{\beta}(t')\right)dt'$$

であり時刻の関係は、事象AとA'で、

$$t' = t -\frac{\left\vert\vr-\vr_0(t')\right\vert}{c}$$

であり、事象CとC'で

$$t' + dt' = t -\frac{\left\vert \vr+d\vr -\vr_0(t'+dt')\right\vert}{c}$$

であることから、

$$d\vr \cdot \vn(t')= c\left[ \left(\vn(t')\cdot\bm{\beta}(t')\right)-1\right] dt' =- c\kappa(t')dt'$$

を得るの。よって

$$\Nabla_{\vr_0(t')\ne {\rm Const}}=\deL{\vr}= -\frac{\vn(t')}{c\kappa(t')}\deL{t'}$$ (21)

となる。 以上より空間微分について以下の関係式を得る。

$$\Nabla = \Nabla_{\vr_0}-\frac{\vn(t')}{c\kappa(t')}\deL{t'}$$ (22)

$$\Nabla \left(\kappa(t')R(t')\right) = \left( \Nabla_{\vr_0}-\frac{\vn(t')}{c\kappa(t')}\deL{t'} \righ... ...')R(t')\right] -\frac{\vn(t')}{c\kappa(t')}\deL{t'}\left[\kappa(t')R(t')\right]$$

$$=\kappa(t') \Nabla_{\vr_0}R(t')+ R(t') \Nabla_{\vr_0}\kappa(t')-\frac{R(t')\dot{\kappa}(t')}{c\kappa(t')}\vn(t')-\frac{\dot{R}(t')}{c}\vn(t')$$

$$= \kappa(t')\vn(t')+\left(\vn(t')\cdot\bm{\beta}(t')\right)\vn(t'... ...beta}}(t')\right)\right]\vn(t') +\left(\vn(t')\cdot\bm{\beta}(t')\right)\vn(t')$$

$$=\frac{\kappa^2(t')+2\kappa(t')\left(\vn(t')\cdot\bm{\beta}(t')\r... ... +\frac{R(t')\left(\vn(t')\cdot\dot{\bm{\beta}}(t')\right)}{c\kappa(t')}\vn(t')$$

$$=\frac{\vn(t')}{\kappa(t')} -\bm{\beta}(t')-\frac{\beta^2(t')}{\k... ...)+\frac{R(t')\left(\vn(t')\cdot\dot{\bm{\beta}}(t')\right)}{c\kappa(t')}\vn(t')$$

$$= \vn(t')-\bm{\beta}(t')+ \frac{\vn(t')}{\kappa(t')}\left(\vn(t')... ...)+\frac{R(t')\left(\vn(t')\cdot\dot{\bm{\beta}}(t')\right)}{c\kappa(t')}\vn(t')$$ (23)

著者: 茅根裕司 chinone_at_astr.tohoku.ac.jp