1-4

磁場が $1\,[{\rm\mu G}]$の時、 $100\,[{\rm TeV}]$及び $10\,[{\rm GeV}]$の運動エネルギーを持つ電子からの放射の最大周波数は幾らか。${\rm Hz}$及び${\rm eV}$単位で答えよ。

1-4解答

運動エネルギー$K$は全エネルギー$E$から静止質量エネルギーを差し引いたものとし

$$K = E - m = \left(m^2+p^2\right)^{1/2} -m$$ (4)

と書ける。これより運動量は$K$を用いて

$$E^2 = m^2+p^2 =\left(m+K\right)^2 = m^2 +2mK +K^2\, ; \quad \therefore\, p^2 = K^2+2mK$$ (5)

と書ける。また速度$u$は正準方程式より

$$u = \del{E}{p} = \frac{p}{E}\,; \quad u^2 = \frac{p^2}{E^2} = \frac{K^2+2mK}{\left(K+m\right)^2}$$ (6)

と書ける。よってこの時のLorentz factorは

$$\gamma^2 = \left(1-u^2\right)^{-1} = \left[1- \frac{K^2+2mK}{\lef... ...^2} \right]^{-1} =\left(\frac{m+K}{m}\right)^2 = \left(1+\frac{K}{m}\right)^{2}$$ (7)

となる。

3の詳細な解析より$\nu$は

$$\nu = \frac{3}{4}\gamma^2 \omega_{{\rm ce}}$$ (8)

と書ける。サイクロトロン角周波数は、

$$\omega_{{\rm ce}} = 17.5882012\left(\frac{B}{[{\rm\mu G}]}\right)\,[{\rm Hz}]$$

であるので、具体的に値を代入すると

$$\nu =1.31912 \left(\frac{\gamma}{10^4}\right)^2 \left(\frac{B}{[{... ...t(\frac{\gamma}{10^4}\right)^2 \left(\frac{B}{[{\rm\mu G}]}\right)\,[{\rm GHz}]$$ (9)

と書ける。 $1.4\,[{\rm GHz}]$は波長にすると $\lambda=21\,[{\rm cm}]$である。これは中性水素のスピン遷移による放射で、電波領域で重要な波長である。

以上を踏まえ、問題の場合を考えると、Eq.(7)より、

• $K=100\,[{\rm TeV}]$の場合
  $$\nu = 5\times 10^{17}\,[{\rm Hz}], \quad h\nu = 2\times 10^3\,[{\rm eV}]$$

• $K=10\,[{\rm GeV}]$の場合
  $$\nu = 5\times 10^{9}\,[{\rm Hz}], \quad h\nu = 2\times 10^{-5}\,[{\rm eV}]$$

となる。

著者: 茅根裕司 chinone_at_astr.tohoku.ac.jp