1-1

右回りに円偏光した電磁波に対して分散関係式が

$$\omega^2 = c^2 k^2 + \frac{\omega \omega_{{\rm ce}}^2}{\omega +\omega_{{\rm pe}}}$$ (1)

となることを示せ 。

1-1解答

外部磁場を

$$\vB_0 = B_0 \vn$$ (2)

と書くと、磁場に沿って進む右回りの電磁波は

$$\vE\rt = E_{-} e^{-i\left(\omega t-\vk\cdot \vr\right)}\bm{\epsilon}_{-}$$ (3)

と書ける。電子の運動方程式より、電子の速度$\vv$は

$$m_e \di{\vv}{t} = -e\vE -\frac{e}{c} \left(\vv\times \vB_0\right)... ...\epsilon}_{-} -i \frac{\omega_{{\rm ce}}}{\omega} \left( \vv \times \vn\right)$$

と書ける。$\vv$と $\bm{\epsilon}_{-}^*$との内積を計算すると

$$\vv \cdot \bm{\epsilon}_{-}^* = \frac{eE_{-}}{im_e \omega} -i \frac{\omega_{{\rm ce}}}{\omega} ... ... -i \frac{\omega_{{\rm ce}}}{\omega}\vv\cdot \left(-i\bm{\epsilon}_{-}^*\right)$$

$$=\frac{eE_{-}}{im_e \omega} -\frac{\o... ... \bm{\epsilon}_{-}^* =-\frac{ieE_{-}}{m_e\left(\omega+\omega_{{\rm ce}}\right)}$$

となる。ここでは前回のレポートで導出した $\bm{\epsilon}_{-}\cdot \bm{\epsilon}_{-}^* =1,\, \vn\times \bm{\epsilon}_{-}^* = -i\bm{\epsilon}_{-}^*$を用いた。同様に$\vv$と $\bm{\epsilon}_{+}^*$との内積をとると

$$\vv\cdot\bm{\epsilon}_{+}^* =-i\frac{... ...\epsilon}_{+}^*\right), \quad \therefore \quad \vv\cdot \bm{\epsilon}_{+}^* = 0$$

を得る。ここでも前回のレポートで導出した $\bm{\epsilon}_{-}\cdot \bm{\epsilon}_{+}^* =0,\, \vn\times \bm{\epsilon}_{+}^* = i\bm{\epsilon}_{+}^*$を用いた。以上より電子の速度と電流密度は

$$\vv = -\frac{ieE_{-}}{m_e\left(\omega+\omega_{{\rm ce}}\right)}\b... ...\frac{in_e e^2E_{-}}{m_e\left(\omega+\omega_{{\rm ce}}\right)}\bm{\epsilon}_{-}$$ (4)

と書ける。これをMaxwell方程式に代入し整理すると、

$$\left[ \omega^2 -c^2 k^2 -\frac{\omega \omega_{\rm pe}^2}{\omega+\omega_{{\rm ce}}}\right]E_{-}\bm{\epsilon}_{-} = 0$$

となり、これよりEq.(1)を得る。

著者: 茅根裕司 chinone_at_astr.tohoku.ac.jp