2-1

中心に点電荷$q_0$が存在する時のプラズマ中の静電場ポテンシャルは

$$\phi(r) = \frac{q_0}{r} e^{-r/\lambda_D}$$ (5)

と書ける。空間全体で積分した時、全電荷が零であることを示せ。

2-1解答

前回の課題で導出したように電荷密度は

$$n_e ({\bf r}) = n_0 e^{\frac{e\phi({\bf r})}{k_B T}} \sim n_0 \left[ 1+\frac{e\phi({\bf r})}{k_B T}\right]$$ (6)

と書ける。ここで$n_0$は無限遠での電荷の密度である。 これを空間全体で積分すると

$$\int_{V_\varepsilon} d^3 r\, n_e(r) = \lim_{\varepsilon\to +0}\int_{\varepsilon}^{\infty} 4\pi r^2 \,... ...}^\infty dr \left( -4\pi r^2 e^2 n_0 \frac{q_0 e^{-r/\lambda_D}}{r k_BT}\right)$$

$$= -q_0 \int_{+0}^\infty dr\, r e^{-r/\lambda_D} \frac{4\pi e^2 n_... ..., \frac{r}{\lambda_D} e^{-r/\lambda_D} =-q_0 \int_{+0}^\infty dr' \, r' e^{-r'}$$

$$= q_0 \int_{+0}^{\infty} -e^{-r'}dr' =q_0\left[e^{-r'}\right]_{+0}^\infty$$

$$=-q_0$$

となる。これは中心を除く全空間での電荷である。よってから中心の電荷が$q_0$より、全電荷は零であることが分かる。

脚注

... これを空間全体で積分すると

中心の点電荷が存在する点は除く。なぜなら $\lim_{r\to +0}\phi(r)\to +\infty$、及び中心にはソースとなる点電荷$+q_0$がある。 計算上このように極限操作する必要はないが、物理的な考察の元でこのようにする。

著者: 茅根裕司 chinone_at_astr.tohoku.ac.jp