2-(a)

電子の運動方程式をたてよ。これを解き、電子の位置の時間変化を求めよ。但し、z軸方向の速度を零とし、初期条件 $t=0,v_x=v_0,v_y=0,x(t=0)=y(t=0)=0$とせよ。 電子の運動はどのようなものか説明せよ。

2-(a)解答

運動方程式が

$$m \di{\vv}{t} =q \left[ \vE +\frac{\vv}{c} \times \vB \right]$$

であり、 $\vE=\left(0,0,0\right),\vB=\left(0,0,B\right)$であることから運動方程式は各成分について、

$$m_e\di{v_x}{t} = q \left[ E_x + \frac{1}{c} \left(v_yB_z -v_zB_y\right) \right] = -\frac{ev_y B}{c} ;\quad \therefore\, \di{v_x}{t}=-\frac{eB}{m_e c}v_y$$ (35)

$$m_e\di{v_y}{t} = q \left[ E_y + \frac{1}{c} \left(v_zB_x -v_xB_z\right) \right] = +\frac{ev_x B}{c} ;\quad \therefore\, \di{v_y}{t}=+\frac{eB}{m_e c}v_x$$ (36)

$$m_e\di{v_z}{t} = q \left[ E_z + \frac{1}{c} \left(v_xB_y -v_yB_x\right) \right] = 0 ;\quad \therefore\, \di{v_z}{t}=0$$ (37)

を得る。以後

$$\omega_0= \frac{eB}{m_e c}$$ (38)

を用いることにする。Eq.(35),(36)より、

$$\dii{v_x}{t}= -\omega_0^2 v_x$$

であるから、

$$v_x(t) = A \cos(\omega_0t)+B \sin(\omega_0 t)$$

を得る。ここで$A,B$は積分定数。初期条件 $v_x(t=0)=v_0$より、$A=v_0,B=0$となり、結局

$$v_x(t)=v_0 \cos(\omega_0t)$$ (39)

を得る。これを時間$t$で積分すると、

$$x(t)= \frac{v_0}{\omega_0}\sin(\omega_0t) + C$$

を得るが($C$は積分定数)、初期条件$x(t=0)=0$より$C=0$となる。よって、

$$x(t)=\frac{v_0}{\omega_0}\sin(\omega_0t) = \frac{m_e c v_0}{eB}\sin\left(\frac{eB}{m_e c}t\right)$$ (40)

となる。同様にしてy成分についても解くと、

$$y(t)=\frac{v_0}{\omega_0}\left[1-\cos(\omega_0 t)\right] =\frac{m_ecv_0}{eB}\left[1-\cos\left(\frac{eB}{m_ec}t\right)\right]$$ (41)

を得る。図のようにxy平面内を反時計回りに円運動する。

図 5: 一様磁場中での電子の運動

著者: 茅根裕司 chinone_at_astr.tohoku.ac.jp