4-4

もし全ての電子が、 放射する電磁波の波長より十分小さい領域に存在して、 それらが同時に電磁波を放射したとしたら、 観測される電磁波のスペクトルが、

$$\frac{dW}{dAd\omega} =cN^2 \left\vert \hat{E}_0(\omega) \right\vert^2$$ (38)

であることを示せ。

4-4解答

$$\left\vert \sum_{i=1}^N e^{i\omega t_i}\right\vert^2 = \left( \sum_{i=1}^N e^{i\omega t_i} \right)\left( \sum_{i=1}^N ... ...-t_j)} =\sum_{i=j}^N e^{i\omega(t_i-t_j)} +\sum_{i\ne j}^N e^{i\omega(t_i-t_j)}$$

$$=N + N(N-1) =N^2, \quad \because)\, \sum_{i\ne j}^N e^{i\omega(t_i-t_j)}=N(N-1)$$

となる。ここで電磁波の放射領域が十分小さいので、 $i\ne j$であっても$t_i=t_j$となる様なコヒーレントな状況が実現されている。 以上を元に4-3同様に考えれば、Eq.(38)を得る。

著者: 茅根裕司 chinone_at_astr.tohoku.ac.jp