4-1

$X,Y$は完全二次形式

$$X^2 +Y^2 -2XY \cos\delta =\sin^2\delta$$ (4)

を満たす。今

$$\begin{pmatrix} \xi \\ \eta \end{pmatrix}=U^{-1} \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix}$$

なる変換によってこの二次形式は$\xi,\eta$ではどのように書けるか。

4-1解答

$$\begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix}=U \begin{pmatrix} \xi \\ \... ...rix}= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} \xi+\eta \\ -\xi + \eta \end{pmatrix}$$

より、

$$X^2+Y^2 -XY \cos\delta =\frac{1}{2}\left(\xi+\eta\right)^2 +\frac... ...\left(-\xi+\eta\right)^2 -\left(\xi+\eta\right)\left(-\xi+\eta\right)\cos\delta =\xi^2+\eta^2+\left(\xi^2-\eta^2\right)\cos\delta$$

$$=\sin^2\delta = 1-\cos^2\delta$$

となるが、これを整理すると、

$$\begin{array}{lcc} \text{when }\delta=n\pi,(n=2m;\,m\in{\bf N... ...\left(\sqrt{2}\,\cos\dfrac{\delta}{2}\right)^2} =1} \end{array}$$ (5)

を得る。

図 1: Eq.(5)の概形

　　 　　 　　 　　

著者: 茅根裕司 chinone_at_astr.tohoku.ac.jp